Lemat Riemanna

Lemat Riemanna

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

$\lim_{\nu \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = 0$

Dowód

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1:

$\left| \int\limits_{a}^{b} \sin \nu x dx \right| = \left| \frac{\cos \nu a - \cos \nu b}{\nu} \right| \leqslant \frac{2}{\nu} \to 0$

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji $f(x)=x$:

$\left| \int\limits_{a}^{b} x \sin \nu x dx \right| = \left| \left( \frac{\sin \nu x}{\nu^2} - \frac{x \cos \nu x}{\nu} \right)\left| {a \atop b} \right. \right| = \left| \frac{\sin \nu a - \sin \nu b}{\nu^2} + \frac{b \cos \nu b - a \cos \nu a}{\nu} \right| \leqslant \frac{2}{\nu^2} + \frac{|a|+|b|}{\nu} \to 0$

3. Dla funkcji liniowej $f(x) = ax + b$, gdzie $a, b \in \mathbb{R}$:

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale $[a,b]$:

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na $[a,b]$ da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na $[a,b]$ to (na mocy twierdzenia Cantora) jest jednostajnie ciągła na $[a,b]$ (przedział ten jest zbiorem zwartym).

Wybierzmy pewną liczbę $\varepsilon$, wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby $\delta$, takiej że dla dowolnych wartości $x_1, x_2 \in [a, b]$ tak, że

$|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$,

obierzmy następnie liczby $a=c_0 < c_1 < ... < c_n = b$ w taki sposób aby $|c_n - c_{n-1}| < \delta$.

Rozważmy funkcję $\varphi$ liniową w każdym z przedziałów $[c_{n-1}; c_n]$ i o własności $f(c_n) = \phi (c_n)$. Weźmy $x$ należączy do przedziału $[c_{n-1}; c_n]$. Korzystając z faktu że $\varphi$ jest liniowa wiemy, iż $\varphi(x)$ leży pomiędzy $\phi (c_{n-1})$ i $\phi (c_{n})$ dlatego liczba $\varphi(x)-f(x)$ leży pomiędzy liczbami $\phi (c_{n-1}) - f(x)$ i $\phi (c_{n}) - f(x)$ które mają moduł mniejszy od $\varepsilon$. Co za tym idzie:

$| \phi (x) - f(x)| < \varepsilon$

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji $\varphi(x)f$ można znaleźć taką funkcję $\varphi$ taką że:

$| \phi (x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$,

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna:

$\left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| < \frac{1}{2} \varepsilon$

czyli:

$\left| \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx \right| \leqslant \left| \int\limits_{a}^{b} (f(x) - \phi (x) ) \sin \nu x dx \right| + \left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b - a) + \frac{1}{2} \varepsilon = \varepsilon$

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie $c$.

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

$\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} \phi_1(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} \phi_2(x) \sin \nu x dx$

Przy czym funkcje $\phi_1, \phi_2$ są równe funkcji $f$ (odpowiednio) na przedziale $[a,c)$ i $(c,a]$, a w punkcie $c$ są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach $[a,c]$ i $[c,b]$ (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje $\phi_1, \phi_2$ są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z $\nu$ do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości:

Dzieląc przedział $[a,b]$ na skończoną liczbę podprzedziałów w których funkcja $f$ ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia. QED