Liczba przestępna

Liczba przestępna to taka liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona $z \,$, która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn. $z \,$ jest liczbą przestępną, gdy:

$\bigwedge\limits_{n \in \mathbb{N^{+}}} \ \bigwedge\limits_{(a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0) \in \mathbb{Q}^{n+1}} a_n \neq 0 \implies a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0 \not = 0$

Inaczej: liczba nie będąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny.

Przykłady liczb przestępnych:

• π – udowodnił to Ferdinand Lindemann w 1882 roku,
• e – udowodnił to Charles Hermite w 1873 roku.

Istnienie liczb przestępnych wykazał francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku. Podał też przykłady liczb przestępnych, tzw. liczb Liouville'a.

Jeśli $a \,$ jest liczbą algebraiczną różną od zera, to $e^a \,$ jest liczbą przestępną. Jeśli $a \,$ jest liczbą algebraiczną różną od zera i od jeden oraz $b \,$ jest liczbą niewymierną algebraiczną, to $a^b \,$ jest liczbą przestępną (fakt ten wyraża twierdzenie Gelfonda-Schneidera).

Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych. Ale zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma moc continuum, zatem zbiór liczb przestępnych również musi mieć moc continuum.