Liczba zmiennoprzecinkowa

Liczba zmiennoprzecinkowa – reprezentacja liczby rzeczywistej zapisanej za pomocą notacji naukowej. Ze względu na wygodę operowania na takich liczbach, przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę – nazwy te mają w matematyce znaczenie podane w artykule podłoga i sufit, a w niniejszym artykule inne, powszechne w informatyce. Powoduje to, że reprezentacja liczby rzeczywistej jest tylko przybliżona, a jedna liczba zmiennoprzecinkowa może reprezentować różne liczby rzeczywiste z pewnego zakresu.

Podstawa matematyczna

Wartość liczby zmiennoprzecinkowej jest obliczana według wzoru:

$x = S \cdot M \cdot B^E$

gdzie:

• S (ang. sign) – znak liczby, 1 lub -1
• M (ang. mantissa) – znormalizowana mantysa, liczba ułamkowa
• B (ang. base) – podstawa systemu liczbowego (2 dla systemów komputerowych)
• E (ang. exponent) – wykładnik, liczba całkowita

Mantysa jest znormalizowana, tj. należy do przedziału $[1, B)$ (przedział prawostronnie otwarty!). Jeżeli M jest stałe, a E zmienia się, wówczas przesunięciu ulega przecinek – stąd właśnie pochodzi nazwa tej reprezentacji.

Zarówno dla mantysy jak i wykładnika liczba cyfr jest z góry ustalona. Zatem dana liczba jest reprezentowana z pewną skończoną dokładnością i należy do skończonego zbioru wartości.

Załóżmy, że m to liczba cyfr przeznaczonych na mantysę, natomiast n+1 to liczba cyfr przeznaczonych na wykładnik (n cyfr dla wartości i 1 dla znaku wykładnika). Uznaje się również, że jedna dodatkowa pozycja (najstarsza) zarezerwowana jest dla zapisu znaku całej liczby. Wówczas wartości maksymalne i minimalne dla M i E określone są następująco:

• Wykładnik E:
  • $E_{\min} = -B^{n}+1$
  • $E_{\max} = B^{n}-1$
• Mantysa M:
  • $M_{\min} = 1$
  • $M_{\max} = B-B^{-(m-1)}$

Stąd najmniejsza i największa liczba dodatnia możliwa do zapisania w takiej reprezentacji to:

• $x_{\min} = M_{\min} \cdot B^{E_{\min}} = 1 \cdot B^{E_{min}}$
• $x_{\max} = M_{\max} \cdot B^{E_{\max}} = \left( B-B^{-(m-1)} \right) \cdot B^{E_{max}} < B^{E_{max}+1}$.

Zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie wynosi:

$[-x_{\max}, -x_{\min}] \cup \{0\} \cup [x_{\min}, x_{\max}]$

Zero jest wartością specjalną, która nie może zostać bezpośrednio reprezentowana w tym formacie.

Błąd względny reprezentacji wynosi $\frac{1}{B^{m-1}}$ (inaczej: waga najmniej znaczącej cyfry mantysy). Błędów bezwzględnych na ogół się nie podaje.

Jeżeli komputer wygeneruje liczbę $|x|<B^{E_{\min}}$, to traktowana jest jako niedomiar (underflow).

W przypadku, gdy otrzymana liczba $|x|>M_{\max} \cdot B^{E_{\max}}$, to traktowana jest jako nadmiar wykładniczy (overflow).

Przykład reprezentacji

Przyjmijmy, że B=10, liczba cyfr dziesiętnych przeznaczonych na mantysę wynosi 4, natomiast na wykładnik 2. Chcemy zapisać wartość 60,89523.

1. Pierwszy etap to normalizacja mantysy, sytuacja przedstawia się następująco: M=60,89523. Mantysa M nie należy do zadanego przedziału [1,10), zatem należy przesuwać przecinek w lewo aż M będzie doń należała. Przesuwanie przecinka w lewo wiąże się ze zwiększaniem E.
2. Po normalizacji (przesunięciu przecinka o 1 pozycję w lewo) otrzymujemy: M=6,089523.
3. Ostatnim krokiem jest odpowiednie obcięcie (ang. truncate), albo zaokrąglenie (ang. round) mantysy do zadanej liczby cyfr:
   • obcięcie: 6,089,
   • zaokrąglenie: 6,090.

Przykład dla liczby mniejszej od 1: 0,0000125.

1. Mantysa 0,0000125 nie jest znormalizowana, należy tym razem przesuwać przecinek w prawo, co wiąże się ze zmniejszaniem E.
2. Po normalizacji, tj. przesunięciu przecinka o 5 pozycji w prawo: M=1,25.
3. Liczba cyfr znaczących jest mniejsza od dostępnej, więc nie jest potrzebna żadna forma zaokrąglania. Liczba ma postać 1,250*10^-5.

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych

Własności arytmetyki zmiennoprzecinkowej

Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna. To znaczy, że dla x, y i z mogą zachodzić różności:

• $(x + y) + z \neq x + (y + z)$
• $(x \cdot y) \cdot z \neq x \cdot (y \cdot z)$,

Nie jest też rozdzielna, czyli może zachodzić różność:

• $x \cdot (y + z) \neq (x \cdot y) + (x \cdot z)$

Innymi słowy, kolejność wykonywania operacji wpływa na końcowy wynik.

Przy obliczeniach zmiennoprzecinkowych występują też:

• zaokrąglenia
• nieprawidłowe operacje
• przepełnienie
• niedomiar

Dodawanie i odejmowanie

Załóżmy że chcemy dodać lub odjąć dwie dodatnie liczby zmiennoprzecinkowe: $x_1 = M_1 \cdot B^{E_1}$ oraz $x_2 = M_2 \cdot B^{E_2}$, przy czym $x_1 \ge x_2$. Założenia te można spełnić dla dowolnych liczb zmiennoprzecinkowych manipulując ich kolejnością, znakiem wyniku oraz rodzajem wykonywanej operacji, według poniższego schematu:

$\begin{matrix} (+x_1)+(+x_2), & (+x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(+x_1), & (+x_2)-(-x_1) & \rightarrow & +(x_1+x_2) \\ (+x_1)+(-x_2), & (+x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(+x_1), & (-x_2)-(-x_1) & \rightarrow & +(x_1-x_2) \\ (-x_1)+(-x_2), & (-x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(-x_1), & (-x_2)-(+x_1) & \rightarrow & -(x_1+x_2) \\ (-x_1)+(+x_2), & (-x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(-x_1), & (+x_2)-(+x_1) & \rightarrow & -(x_1-x_2) \\ \end{matrix}$

Wówczas:

$x_1 \pm x_2 = (M_1 \pm M_2 \cdot B^{E_2-E_1}) \cdot B^{E_1}$

Jeśli liczby mają różne wykładniki, to podczas dodawania mantysa liczby o mniejszym wykładniku musi zostać zdenormalizowana – we wzorze jest to przemnożenie $M_2$ przez czynnik $B^{E_2-E_1}$. W szczególnym przypadku, jeśli $E_1-E_2$ jest większe niż $m$ (liczba cyfr mantysy), to po denormalizacji mantysa będzie miała wartość 0, a liczba o mniejszym wykładniku nie wpłynie na wynik dodawania bądź odejmowania.

Odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych o takim samym wykładniku $E$ i niewiele różniącej się mantysie powoduje, że wynikowa mantysa jest znacznie zdenormalizowana. Renormalizacja w takim wypadku wiąże się z wprowadzeniem sporej liczby nieznaczących zer na końcu mantysy. Jest to szczególnie niekorzystne, dlatego zwykle tak projektuje się obliczenia, by do tego nie dopuścić.

Mnożenie i dzielenie

Mając dane liczby zmiennoprzecinkowe $x_1 = S_1 \cdot M_1 \cdot B^{E_1}$ i $x_2 = S_2 \cdot M_2 \cdot B^{E_2}$:

$x_1 \cdot x_2 = (S_1 \cdot S_2) \cdot (M_1 \cdot M_2) \cdot B^{E_1+E_2}$

$x_1/x_2 = (S_1 \cdot S_2) \cdot (M_1 / M_2) \cdot B^{E_1-E_2}$

Błędy operacji elementarnych

Wygodnie jest przedstawić liczbę zmiennoprzecinkową jako wartość dokładną zaburzoną pewnym błędem reprezentacji $\varepsilon$:

$\bar{x} = x(1 + \varepsilon_x)$

Wówczas błąd względny poszczególnych operacji elementarnych wykonywanych na liczbach $\bar{a}=a(1+\varepsilon_a)$ oraz $\bar{b}=b(1+\varepsilon_b)$ można oszacować następująco:

• dodawanie/odejmowanie: $\varepsilon_{a \pm b} = \frac{a \varepsilon_a \pm b \varepsilon_b}{a \pm b} + \varepsilon_{\pm}$
• mnożenie: $\varepsilon_{a \cdot b} = \varepsilon_a + \varepsilon_b + \varepsilon_{\cdot}$
• dzielenie: $\varepsilon_{a / b} = \varepsilon_a - \varepsilon_b + \varepsilon_{/}$

gdzie $\varepsilon_{\pm}$, $\varepsilon_{\cdot}$ i $\varepsilon_{/}$ to błędy wprowadzane przez dane operacje arytmetyczne.

Rozbijając każde wyrażenie arytmetyczne na operacje elementarne można za pomocą tych zależności oszacować powstałe błędy. Istnieją jednak lepsze i szybsze metody modelowania błędów.

Implementacje sprzętowe

Reprezentacja zmiennoprzecinkowa IEEE-754 single

W implementacjach sprzętowych liczby zmiennoprzecinkowe wyraża się liczbami dwójkowymi (B=2). Ma to następujące zalety:

1. Mantysa należy do przedziału [1,2), jest więc postaci 1.xxxxx.... (x – bit o dowolnej wartości). Ponieważ część całkowita jest znana, i równa zawsze 1, przeto nie jest zapamiętywana, co daje dodatkowy bit na część ułamkową.
2. Ponieważ znak liczby jest zapamiętywany na jednym bicie, przeto otrzymanie modułu i wartości przeciwnej wymaga, odpowiednio, wyzerowania tego bitu (logiczna operacja AND), lub zmiany na wartość przeciwną (logiczna operacja XOR).

W celu ujednolicenia zasad operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na różnych platformach sprzętowych, opracowano standard IEEE 754, w oparciu o który realizuje się obecnie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych. Definiuje on dwie klasy liczb:

• pojedynczej precyzji (ang. single)
• podwójnej precyzji (ang. double)

Są również inne sposoby zapisu, różniące się jedynie liczbą bitów przeznaczoną na poszczególne pola. Np. koprocesor w procesorach x86, oprócz typów standardowych, wspiera liczby 10-bajtowe, natomiast kompilator Pascala - liczby 6-bajtowe. Liczby zgodne ze standardem IEEE 754 mają dokładnie określoną semantykę, jak na przykład: dokładność operacji elementarnych, kierunki zaokrągleń, czy obsługa sytuacji wyjątkowych – są to cechy bardzo pożądane w zastosowaniach naukowych i inżynieryjnych, a również ułatwiają przenoszenie kodu programu na inny sprzęt.

Format	Znak [bity]	Wykładnik [bity]	Mantysa [bity]	Szerokość słowa [bity]	Typy w językach programowania
IEEE-754 single	1	8	23	32	float (C), single (Pascal), real*4 (Fortran)
IEEE-754 double	1	11	52	64	double (C), real lub double (Pascal), real*8 (Fortran)
koprocesor x87	1	15	64	80	long double (C99), extended (Pascal)
Turbo Pascal	1	8	39	48	real
SSE5, OpenGL 3.0	1	5	10	16	w OpenGL nazywana half-float

Przesunięcie wykładnika

Wykładnik będący liczbą całkowitą jest zapisywany w kodzie uzupełnień do dwa, co można interpretować jako wartość przesuniętą o pewną stałą (ang. biased exponent). Właściwą wartość wykładnika uzyskuje się odejmując od zakodowanego wykładnika wartość przesunięcia (ang. bias). Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się ze wzoru:

$x = (-1)^S \cdot M \cdot 2^{E - \textrm{bias}}$

gdzie S to bit znaku; liczba jest ujemna, gdy bit znaku jest równy 1, w przeciwnej sytuacji ma on wartość 0.

Typowe wartości przesunięcia dla koprocesora x87 (występującego w procesorach x86) wynoszą:

• 127 (7FH) w formacie 32-bitowym
• 1023 (3FFH) w formacie 64-bitowym
• 16383 (3FFFH) w formacie 80-bitowym

Wartości specjalne

Oprócz zwykłych liczb zdefiniowano następujące wartości specjalne:

• NaN – nie-liczba (ang. Not-a-Number), to symbol, który nie reprezentuje wartości liczbowej, powstały zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji (np. pierwiastkowanie liczby ujemnej)
  • sNaN – sygnalizujące NaN (ang. signalling NaN) – rozróżnienie wprowadzone w procesorach z rodziny x86; dla większości operacji wykonanie liczba operacja sNaN spowoduje zgłoszenie wyjątku.
  • qNaN – ciche NaN (ang. quiet NaN) – przekazanie tej wartości jako argumentu operacji nie powoduje zgłoszenia wyjątku; w operacjach SSE można ustalić, że liczba operacja qNaN → 0.
• Zero – rozróżnia się +0,0 i -0,0.
• Nieskończoność – jest wynikiem operacji w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia), przy dzieleniu przez 0, itp.; może być dodatnia lub ujemna.
• Liczba zdenormalizowana – pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji jeszcze można zapisać denormalizując mantysę (w takim przypadku mantysa reprezentuje liczbę w postaci 0,xxx...xxx, a nie 1,xxx...xxxx).

Wartość specjalna	Bit znaku	Bity wykładnika	Bity mantysy	Uwagi
NaN	x	111..111	xxxx...xxx	wszystkie bity wykładnika są równe 1, natomiast mantysa ma niezerową wartość
QNaN	x	111..111	1xxx...xxx	uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 1
SNaN	x	111..111	0xxx...xxx	uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 0
±Zero	x	000..000	0000...000	wszystkie bity mantysy i wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości
±Nieskończoność	x	111..111	0000...000	wszystkie bity mantysy równe 0, wszystkie bity wykładnika równe 1, bit znaku decyduje o znaku wartości
Zdenormalizowana	x	000..000	xxxx...xxx	mantysa różna od 0, wszystkie bity wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości

Typy zmiennoprzecinkowe w językach programowania

• C, C++ — float, double, long double
• Pascal, Fortran — real

C, C++

Rozmiar typów zmiennoprzecinkowych zależy od konkretnych implementacji. Standardowo, typ float zajmuje co najmniej 4 bajty, double 8 bajtów, a long double zazwyczaj 8-16 bajtów. W przypadku kompilatora GCC w wersji 4.6.2, długości typów wynoszą odpowiednio 4, 8 i 16 bajtów, a w Visual C++ – 4, 8 i 8 bajtów.

Pascal

W standardzie języka Pascal ISO/IEC 7185 :1990 jest wymagany typ real obejmujący podzbiór liczb rzeczywistych. Turbo Pascal wykorzystuje cztery typy zmiennoprzecinkowe (typ, liczba bajtów, liczba cyfr znaczących, zakres wartości):

• single, 4 B, 7-8 cyfr, 1.5·10^-45..3.4·10³⁸
• real, 6 B, 11-12 cyfr, 2.9·10^-39..1.7·10³⁸
• double, 8 B, 15-16 cyfr, 5.0·10^-324..1.7·10³⁰⁸
• extended, 10 B, 19-20 cyfr, 3.4·10^-4932..1.1·10⁴⁹³²

Delphi, obsługuje te same typy, przy czym w domyślnych ustawieniach opcji kompilatora, typ real jest równoważny typowi double, a sześciobajtowy nazwano real48. We free Pascalu typ real jest zastępowany przez single lub double.

Fortran

W oryginalnej specyfikacji języka Fortran typ real miał dwie możliwe długości REAL i DOUBLE PRECISION. Zakres i precyzja obydwu typów nie były wyspecyfikowane, lecz zależały od architektury konkretnego komputera, z wymaganiem aby DOUBLE PRECISION miał wyższą precyzję i co najmniej taki sam zakres co REAL.

Z czasem rynek został całkowicie zdominowany przez komputery o architekturze opartej na 8-bitowych bajtach, przyjęło się, że podstawowy typ REAL zajmuje 4 bajty. Współczesne kompilatory Fortranu dopuszczają deklaracje:

• REAL*4 lub po prostu REAL – 32 bity, odpowiednik typu float w języku C
• REAL*8 lub DOUBLE PRECISION – 64 bity, odpowiednik typu double w języku C

Niektóre implementacje dopuszczają także typ:

• REAL*16 – 128 bitów.

Nowsze specyfikacje języka FORTRAN, poczynając od FORTRAN90, umożliwiają programiście deklarowanie wymaganej precyzji i zakresu liczb zmiennoprzecinkowych w oderwaniu od konkretnej implementacji. Wbudowana funkcja SELECTED_REAL_KIND(p,r) zwraca dla konkretnego procesora najkrótszą reprezentację o co najmniej wskazanej dokładności i zakresie. Na przykład SELECTED_REAL_KIND(10,80) zwróci dla danego procesora typ liczby zmiennoprzecinkowej o dokładności co najmniej 10 cyfr znaczących i zakresie co najmniej do 10⁸⁰. Istnieją też wbudowane funkcje PRECISION i RANGE pozwalające sprawdzić jaki rzeczywisty zakres i dokładność mają liczby zmiennoprzecinkowe podanego typu w danym procesorze.

Kalkulator

Sposoby wyświetlania liczb zmiennoprzecinkowych:

• FLO (Floating Notation) – notacja dziesiętna – tryb domyślny. Jeżeli jest to możliwe wyświetla liczbę z wykładnikiem równym 0 pomijając jego wyświetlanie
• SCE (Scientific Notation) – notacja naukowa – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem
• ENG (Engineering Notation) – notacja inżynierska – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem podzielnym przez 3.

Historia

Binarne liczby zmiennoprzecinkowe po raz pierwszy zastosował Konrad Zuse w mechanicznym komputerze Z1.

Zobacz też

• Typy danych
• Analiza przedziałowa