Liczby Fermata

Liczba Fermata – liczba naturalna postaci $F_n=2^{2^n}+1$, gdzie $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Faktoryzacje liczb Fermata

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

Liczby Fermata a pierwszość

Patrząc na pięć kolejnych liczb Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby tej postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F₅ = 4294967297 = 641 · 6700417.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie F₀, F₁, F₂, F₃, F₄ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba 2ⁿ + 1 jest liczbą pierwszą, to n musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Liczby Fermata – metoda T. Pépina

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Otóż jeśli m = ( F_n – 1 ) / 2 to F_n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli 3 ^m + 1.

Liczby Fermata – metoda T. Pépina – przykład

• liczba F₂ = 17
• zatem m = 8
• więc 3 ⁸ + 1 = 6562
• 6562 / 17 = 386
• dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby F₂

Wzory rekurencyjne

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

• $F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1\;$
• $F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}$
• $F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2$
• $F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2$

dla n ≥ 2.

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

• Jeżeli $n\geq2$, to $F_n\equiv17\mbox{ albo }41\pmod{72}$ (zobacz: kongruencja)
• Jeśli $n\geq2$, to $F_n\equiv17,37,57,\mbox{ albo }97\pmod{100}$.
• Liczba $D(n,b)$ cyfr liczby $F_n$ w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie $b$ jest równa $D(n,b) = \left\lfloor \log_{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1 \right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor$ (zobacz: funkcja podłoga)
• Żadna liczba Fermata oprócz $F_1=5$ nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
• Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch $p$-tych potęg, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata

Dowodząc, że F₅ jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby F_n musi mieć postać k2ⁿ⁺¹ + 1. Dla n = 5 oznacza to, że jedynie liczby postaci 64k + 1 mogą dzielić F_n; dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli F₅ nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

• Czy F_n jest liczbą złożoną dla n > 4?
• Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
• Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla 5 ≤ n ≤ 32 wszystkie liczby F_n są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla n ≤ 11. Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest F_2478782, a jednym z jej czynników pierwszych jest 3 · 2^2478785 + 1.

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla n = 35563, liczba Fermata ma dzielnik: 357 · 2³⁵⁵⁶⁷ + 1.

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

• Twierdzenie Protha: Niech N = k2^m + 1, gdzie k jest nieparzyste i mniejsze od 2^m. Jeżeli istnieje liczba całkowita a taka, że

$a^{(N-1)/2} \equiv -1 \pmod N$

to N jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

$\left(\frac{a}{N}\right)=-1$ (zobacz: symbol Jacobiego),

to N jest liczbą złożoną. Jeżeli N = F_n > 3, to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy -1.

• Niech n ≥ 3 – n jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $a$ względnie pierwszej z n, $a$ jest pierwiastkiem pierwotnym mod n wtedy i tylko wtedy, gdy a jest nieresztą kwadratową mod n.
• Liczba Fermata F_n > 3 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

$F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}$

Stąd nowy dowód, że F₅ nie jest pierwsza, bowiem F₅ = 62264² + 20449². Podobnie, F₆ = 4046803256² + 1438793759² i F₇ = 16382350221535464479² + 8479443857936402504².

Liczby pierwsze Fermata w geometrii

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2^kp₁p₂...p_s, gdzie p₁, p₂, ...p_s są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny (k=0, s=1, p₁=F₁) i sześciokąt foremny (k=1, s=1, p₁=F₀), ale już nie siedmiokąt foremny.