Liczba doskonała

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).

Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056 i 137438691328.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2^p-1)·2^p-1, gdzie 2^p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 2^43112608·(2^43112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci $p^{4k+1}l^2\,$, gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10³⁰⁰ (wynik z roku 1991).

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Zobacz też

• liczby zaprzyjaźnione
• liczby Mersenne'a

Bibliografia

• Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
• Włodzimierz Holsztyński, Liczby doskonałe, Delta, 12(403), str 1-3
• Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), str 4

Linki zewnętrzne

• Liczby doskonałe – MathWorld
• Liczby doskonałe nieparzyste – MathWorld
• Mersenne Prime Search
• Odd Perfect Number Search