Liczby naturalne

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. O konkretnym stanowiskiu decydują często takie sytuacje jak: uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp.

Historia

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero

Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Oznaczenia

Dla liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie $\mathbb{N}$, jak i $\mathbb{Z}_{+}$, rzadziej inne.

W matematyce określenie "liczby naturalne" oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. Począwszy od wprowadzenia w teorii mnogości modelu von Neumanna liczb naturalnych niektórzy autorzy dołączają do zbioru liczb naturalnych liczbę zero, której odpowiednikiem w tym modelu był zbiór pusty $\empty$.

W algebrze zbiór liczb naturalnych (bez dołączonego zera) jest algebrą z dwoma operacjami 2-arnymi (mnożenie i dodawanie) i jedną operacją 0-arną (jedynka). Jest półgrupą ze względu na dodawanie i półgrupą z jedynką (czyli monoidem) ze wzgledu na mnożenie. W takim przypadku stosuje się dla tych struktur oznaczenie $\mathbb{N}$, jako nienawiązujące do pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ - algebry znacznie bogatszej.

Definicje

Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

• 0 jest liczbą naturalną;
• Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany $S(a)$;
• 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
• Różne liczby naturalne mają różne następniki: $a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b)$;
• Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peano zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peano nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, itd, ani też nie wspominają uporządkowania (relacji $\leqslant$). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: $a+0=a\;$).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

• $a+0=a\;$
• $a+S(b)=S(a)+b\;$

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb np. obliczając $2+2$ (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

• $2 + 2$
• $2 + S(1)$ bo 2 jest następnikiem 1
• $S(2) + 1$ z definicji
• $3 + 1$ następnik 2 oznaczamy symbolem 3
• $3 + S(0)$ 1 jest następnikiem 0
• $S(3) + 0 = S(3)$ z definicji
• $S(3) = 4$ następnik 3 oznaczamy symbolem 4

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

• $a \cdot 0 = 0$
• $a \cdot S(b) = (a \cdot b) + a$

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia (a*0=0) byłby zastąpiony przez warunek: a*1 = a.

Powyższe postulaty mówią jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peano, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella, definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez amerykańskiego matematyka John von Neumanna - nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X - zbiór induktywny.

Niech $P := \{Y \subset X: Y\text{ -- induktywny}\}$. Przecięcie  $\mathbb{N} := \cap P$  jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech $Z$ - zbiór induktywny. To $\mathbb{N} \cap Z$ też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w $X\,$, a więc zawierającym $\mathbb{N}$, a więc równym $\mathbb{N}$ – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności $\mathbb{N}$:

• $\empty \in \mathbb{N}$ - oznaczamy jako 0;
• $S(\empty) = \{\empty\}$ - oznaczamy jako 1;
• $S(\{\empty\}) = \{\empty ,\{\empty\}\}$ - oznaczamy jako 2;

i tak dalej.

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peano.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. 2 = {0,1}, 5 = {0,1,2,3,4} itd.

Podstawowe własności

Dla dowolnych liczb naturalnych $k, m, n$:

• $m < n \Rightarrow m \leqslant n$;
• $\neg(n < n)$;
• $m \leqslant n \wedge \neg(m = n) \Rightarrow m<n$;
• $S(m) = S(n) \Rightarrow m = n$;
• $n \leqslant k \leqslant S(n) \Rightarrow k=n \vee k=S(n)$;
• $m = n \vee n < m \vee m < n$.

W każdym z poniższych zbiorów można wyróżnić podzbiór, który jest izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych:

• liczb całkowitych
• liczb wymiernych,
• liczb algebraicznych,
• liczb rzeczywistych,
• liczb zespolonych,
• kwaternionów,
• oktaw Cayleya,
• liczb p-adycznych.

To znaczy: pewne podzbiory tych zbiorów, z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia, spełniają aksjomaty Peano.

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• systemy liczbowe