Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Historia

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby $\sqrt{2}$. Ogólnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład $\sqrt{2}$ oraz $\sqrt{99992}$ są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).

Inne przykłady

• Każda liczba przestępna (np. π) jest niewymierna. Innym przykładem liczby niewymiernej jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
• Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów, np. $\log_{2} 3$ jest niewymierny:

  Dowód nie wprost. Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $m$ oraz $n$ zachodziła równość $\log_{2} 3=\frac{m}{n}$, to mielibyśmy $2^{\frac{m}{n}} = 3$, i wobec tego także $2^{m}=3^{n}$ – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem $\log_23$ nie jest wymierny.

• Podobnie $\log_{10} 2$ jest niewymierny.

Ułamki łańcuchowe

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych

Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb R$, zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire'a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f: \mathbb N \to \mathbb N$.

Zobacz też

• liczby wymierne
• liczby algebraiczne
• niewspółmierność interteoretyczna