Liczby p-adyczne

Liczby p-adyczne (gdzie $p$ jest liczbą pierwszą) - alternatywne wobec liczb rzeczywistych uzupełnienie ciała liczb wymiernych za pomocą konstrukcji ciągów Cauchy'ego.

Jedna z konstrukcji liczb rzeczywistych jest wykonywana przez zinterpretowanie liczby rzeczywistej jako zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych które zbiegają do tej samej granicy. Ściślej w zbiorze ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych wprowadzamy relację równoważności $\sim$:

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \iff \forall_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\exist_{n_0\in\mathbb{N}}\forall_{n>n_0}|a_n-b_n|<\varepsilon$.

Liczby rzeczywiste to klasy abstrakcji tej relacji.

W definicji tej występuje wartość bezwzględna. Można ją zastąpić przez następującą normę p-adyczną:

$|0|=0$

$|r|=p^{-w_p(r)}$

gdzie $w_p(r)$ to wykładnik przy liczbie $p$ w rozkładzie liczby wymiernej r na czynniki pierwsze (tzw. waluacja):

$r=\sgn(r)\cdot 2^{w_2(r)}\cdot 3^{w_3(r)}\cdot 5^{w_5(r)}\cdot 7^{w_7(r)}\cdot \dots$

Liczby p-adyczne tworzą ciało będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Ciała liczb p-adycznych dla różnych $p$ nie są izomorficzne. Każdą liczbę p-adyczną można jednoznacznie zapisać w postaci sumy szeregu:

$\alpha=\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}s_n p^n$

gdzie $k$ jest liczbą całkowitą i $w_p(\alpha)=k$, a współczynniki $s_n$ są resztami z dzielenia przez $p$, tzn. $s_n\in\{0,1,\ldots,p-1\}$. Liczby p-adyczne dodaje się i mnoży jak szeregi, z przeniesieniem do następnego "rzędu" gdy pojawia się współczynnik większy od $p-1$. Ciągiem $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ reprezentującym $\alpha$ jest ciąg sum częściowych tego szeregu. Z tak określonym dodawaniem i mnożeniem liczby p-adyczne tworzą ciało. Zwykłe liczby wymierne, to te liczby p-adyczne, których rozwinięcie w szereg jest okresowe od pewnego miejsca (np. skończone).

Norma p-adyczna przedłuża się na ciało liczb p-adycznych:

$w_p (\displaystyle\sum_{n=k}^\infty s_n p^n)=k$ gdy $s_k\neq 0$.

Metryka $\rho (x,y) = p^{-w_p(x-y)}$ dla normy p-adycznej jest zupełną ultrametryką, np. szereg liczb p-adycznych $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \alpha _n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n =0$.

Szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych są liczby p-adyczne całkowite. Przy przedstawieniu w postaci sumy szeregu liczby p-adyczne całkowite to te, które mają nieujemny początek sumowania $k$, tzn. te liczby p-adyczne $\alpha$, dla których $w_p(\alpha)\geqslant 0$. Liczby całkowite p-adyczne tworzą pierścień lokalny.

Topologicznie, liczby rzeczywiste identyfikuje się z punktami prostej, a liczby zespolone - z punktami płaszczyzny. Ciało liczb p-adycznych topologicznie jest zbiorem Cantora bez jednego punktu końcowego, a pierścień liczb p-adycznych całkowitych - zbiorem Cantora.

Liczby p-adyczne są bardzo ważne w teorii liczb, gdzie pomagają rozwiązywać równania diofantyczne i klasyfikować formy kwadratowe nad ciałem liczb wymiernych (zasada lokalno-globalna Minkowskiego-Hasse). Dowód hipotezy Weila o wymierności $\zeta$-funkcji rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi, podany przez B. Dworka w 1960, wykorzystywał analizę p-adyczną (funkcje p-adyczne, ich pochodne i całki).

Liczby p-adyczne odkrył w latach 20. XX w. Kurt Hensel.

Zobacz też

• liczba
• aksjomaty i konstrukcje liczb

Bibliografia

1. Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. PWN, 1977. 
2. Neal Koblitz: p-Adic Numbers, p-Adic Analysis, and Zeta-Functions. Springer, 1977.