Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie $\mathbb N \ni p>1$, np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych $a_i$ zwanych cyframi, zawartych w przedziale $[0, p-1]$, gdzie i=0,1,...

Skrótowo zapisuje się je jako: $...a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$.

Działania

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie $p$, choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

$\begin{matrix} \underline{\begin{matrix} \ & ...129129129 \\ + & ...545454545 \end{matrix}} \\ \,\,\quad...674583674 \end{matrix}$

Liczby ujemne

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną $-x$ nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

• -1 = ...99999
• -2 = ...99998
• -10 = ...99990
• -15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby $...a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0$ konstruujemy następująco:

1. Każdą cyfrę $a_i$ zastępujemy przez $p-1-a_i$.
2. Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu $a_i$, co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest $...0000$, czyli liczba całkowita zero.

Przykłady

• $...000652$ (można ją utożsamiać z liczbą naturalną $652$)
• $...999348$ (można ją utożsamiać z liczbą naturalną $-652$)

Zobacz też

• liczba
• liczby p-adyczne
• aksjomaty i konstrukcje liczb