Liczby podwójne

Liczby podwójne – w algebrze wyrażenia postaci $a + b\jmath$, gdzie $a,b \in \mathbb{R}$, $\jmath \not\in \mathbb{R}$ oraz $\jmath^2 = 1$.

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)$,

$(a,b)\otimes(c,d)= (ac+bd,ad+bc)$.

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1)^2 = (1,0)$.

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają postać $(a,a)\,$ lub $(a,-a)\,$, bowiem dla dowolnych $x,y$:

$(x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0)$.

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b) = (a,0)+(0,b) = a +b\jmath$ gdzie $\jmath=(0,1)$.

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\jmath,\quad c^2-d^2 \neq 0$ istnieje odwrotność:

$(c+d\jmath)^{-1} = \frac{1}{c+d\jmath} = {-c+d\jmath \over -c^2+d^2}$.

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

$a + b\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b \\ b & a \end{pmatrix}$,

w szczególności

$\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$.

Przykłady

• $(12 + 7\jmath) + (36 + 43\jmath) = 48 + 50\jmath$
• $(5 + 3\jmath) \cdot (6 + 4\jmath) = 42 + 38\jmath$

Zobacz też

• liczby zespolone,
• liczby dualne.