Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera (tocjent lub phi Eulera) dodatniej liczby całkowitej n jest liczbą liczb naturalnych między 1 a n, które są względnie pierwsze z n.

Przykłady

• Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
• Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
• Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Właściwości

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników.

Warunkiem równoważnym względnej pierwszości dwóch liczb jest:

jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, to istnieją liczby całkowite x i y, takie że

ax + by = 1.

Ogólniej:

jeśli liczby a₁, ..., a_n są liczbami względnie pierwszymi, to istnieją liczby całkowite k₁, ..., k_n, takie że

k₁a₁ + ... + k_na_n = 1.

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna $I + J$ jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: $a$ i $b$ są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element $d$ dzieli $a$ i dzieli $b$ wynika, że $d$ jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\mathbb{Z}$ (bo $\mathbb{Z}$ jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też

• liczby pierwsze
• algorytm Euklidesa
• funkcja φ