Linia długa

Linia długa – w energetyce, telekomunikacji i elektronice określenie linii transmisyjnej przenoszącej sygnały, stosowane przede wszystkim w teorii obwodów i technice mikrofal.

Linią długą jest każde urządzenie (pierwotnie linie przewodowe), w którym wymiar długości, porównywalny jest z długością fali przebiegu elektrycznego rozchodzącego się w urządzeniu.

Przykładem linii długich są m.in. kable koncentryczne, czy linia elektroenergetyczna napowietrzna wysokiego napięcia o znacznej długości (954 km).

W technice mikrofal definiuje się linię długą jako nieskończenie długą linię transmisyjną będącą idealnym odbiornikiem energii. W praktyce jest to linia transmisyjna o skończonej długości zakończona impedancją dopasowaną.

Linia długa jest charakteryzowana przez następujące parametry:

• R rezystancja jednostkowa linii [Ω/m]
• L indukcyjność jednostkowa linii [H/m]
• G konduktancja jednostkowa linii [S/m]
• C pojemność jednostkowa linii [F/m]

• Impedancja falowa linii:

$Z_0= \frac {U_0} {I_0} = \sqrt{\frac{R+j \omega L}{G+j \omega C}}$

• Stała propagacji:

$\gamma=\sqrt{({R+j \omega L})({G+j \omega C})}=\alpha + j\beta$

Część rzeczywista α to tzw. stała tłumienia wyr. w [Np/m], podawana też w dB/m zaś część urojona β=2π/λ=ω/v to stała fazowa wyr. w [rad/m]. ω jest pulsacją Dla linii bezstratnych R=0, G=0, α=0. Prędkość fazowa fali w linii bezstratnej wynosi:

$v=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}},$

i jest zawsze mniejsza od prędkości światła w próżni $c$. Przykłady linii transmisyjnych (linie ciągłe są liniami sił pola elektrycznego E, zaś przerywane magnetycznego H, ε_r - względna przenikalność elektryczna i μ_r - względna przenikalność magnetyczna ośrodka o charkterze dielektryka lub magnetyka, który w linii pełni rolę izolatora):

Linia koncentryczna

Linia dwuprzewodowa

Niesymetryczna linia paskowa

Do najpopularniejszych należy linia koncentryczna. Ma ona tę zaletę, że linie pól elektrycznego i magnetycznego zamykają się wewnątrz linii.

Schemat zastępczy odcinka linii długiej o długości Δl przedstawia poniższy rysunek:

Schemat zastępczy odcinka linii długiej

Schemat ten wyjaśnia znaczenie parametrów jednostkowych linii.

Korzystając z prawa Ohma można dla tegoż odcinka linii zapisać układ równań:

$\left \{ {{\Delta u(l)=(R+j\omega L)\Delta l \, i(l)} \atop {\Delta i(l)=(G+j\omega C)\Delta l \, u(l)}} \right.$

po przejściu do przyrostów infinitezymalnych (tj. dla nieskończenie małego Δl) otrzymać można :

$\left \{ {{ \frac {du(l)}{dl} =(R+j\omega L) \, i(l)} \atop {\frac {di(l)}{dl} =(G+j\omega C) \, u(l)}} \right.$,

co po podziałaniu na obydwie strony pierwszego z równań operatorem różniczkowania po długości i wstawieniu drugiego równania oraz podziałaniu na obydwie strony drugiego z równań operatorem różniczkowania po długości i wstawieniu pierwszego równania, prowadzi w rezultacie do układu równań typu falowego opisujących zmiany napięć i prądów w linii transmisyjnej (tzw. równania telegrafistów). Jednoznaczne rozwiązania tego układu otrzymuje sie przy ustalonym obciążeniu końca linii:

$Z_K=\frac{U_K}{I_K}$ , gdzie $Z_K$ jest impedancją obciążającą, zaś ::$U_K$ i $I_K$ odpowiednio napięciem i prądem na końcu linii (tj. dla ::$l=0$).

Rozwiązanie ma postać:

$u(l)=U_K\,cosh\gamma l + I_K Z_0 \, sinh\gamma l$

$i(l)=I_K\,cosh\gamma l + \frac {U_K}{Z_0} \, sinh\gamma l$

Z prawa Ohma wynika, że impedancja widziana w dowolnym punkcie linii (w miejscu odległym o ::$l$ od końca linii) wyniesie:

$Z_{we} (l)=\frac{u(l)}{i(l)}=Z_0\frac{Z_K+Z_0\,tanh \gamma l}{Z_0+Z_K\,tanh \gamma l}$

Dla linii bezstratnych zależność ta upraszcza się do postaci:

$Z_{we} (l)=Z_0\frac{Z_K+jZ_0\,tan \beta l}{Z_0+jZ_K\,tan \beta l}$

Z racji tego, że większość linii transmisyjnych można uznać z dobrym przybliżeniem za bezstratne, powyższa zależność ma kardynalne znaczenie przy obliczaniu parametrów wielu obwodów mikrofalowych działających w oparciu o teorię linii transmisyjnych. Jak widać impedancja linii zmienia się wraz z odległością od obciążenia stąd mówi się (w sensie impedancyjnym) o transformacyjnych własnościach linii. Trywialnym przypadkiem, jest obciążenie linii impedancją $Z_K=Z_0$ (przypadek idealnego dopasowania), dla którego w linii nic się nie zmienia i impedancja wejściowa na całej jej długości wynosi $Z_0$. Można więc powiedzieć, że impedancja charakterystyczna linii to taka impedancja, że po obciążeniu nią linii prąd, napięcie, a co za tym idzie także impedancja wejściowa, utrzymują się wzdłuż linii na stałym poziomie. Stan dopasowania linii do obciążenia oznacza, że energia fali elektromagnetycznej propagującej się w linii w całości przedostaje się do obciążenia.W każdym innym przypadku mówi się o niedopasowaniu. Używa się dwóch miar dopasowania mających genezę w teorii odbicia fali elektromagnetycznej na granicy ośrodków:

• współczynnik odbicia - stosunek napięcia fali odbitej do napięcia fali padającej:

$\Gamma = \frac {u_{fo}}{u_{fp}}= \frac{Z_K-Z_0}{Z_K+Z_0} \qquad \Gamma \in \, <-1;1>$

• współczynnik fali stojącej

$WFS=\frac{u_{max}}{u_{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} \qquad WFS \in \, <1 ; \infty)$

W literaturze anglojęzycznej używa się oznaczenia SWR (standing wave ratio).

W zależności od stanu obciążenia linii długiej rozróżnia się następujące przypadki szczególne:

• Obciążenie impedancją dopasowaną (omówiony powyżej),
• Zwarcie linii

Linia zwarta na końcu. Pierwsze minimum napięcia przypada w odległości λ/2 od końca.

• Rozwarcie linii

Linia rozwarta na końcu. Pierwsze minimum napięcia przypada w odległości λ/4 od końca.

• Obciążenie linii reaktancją pojemnościową

Linia obciążona pojemnością. Pierwsze minimum napięcia lokuje się pomiędzy odległością λ/4 a końcem linii.

• Obciążenie linii reaktancją indukcyjną

Linia obciążona indukcyjnością. Pierwsze minimum napięcia lokuje się pomiędzy λ/2 a λ/4.

• Obciążenie linii rezystancją

Linia obciążona rezystancją (dwa przypadki tj. dla razystancji mniejszych i większych od $Z_0$).

Impedancję wejściową w dowolnym miejscu linii długiej można określić korzystając z wykresu Smitha.

Transformacyjne własności linii przesyłowych wykorzystuje się przede wszystkim w technice mikrofal do konstrukcji obwodów dopasowujących takich jak stroiki i transformatory ćwierćfalowe, a także rezonatorów, sprzęgaczy kierunkowych, dzielników mocy, przełączników itd. Przykład wykorzystania linii transmisyjnych do konstrukcji oscylatora mikrofalowego stabilizowanego rezonatorem z akustyczną falą powierzchniową przedstawia poniższa fotografia (→[1]).

Oscylator zrealizowany w technice linii długich (tu niesymetrycznych linii paskowych)

.

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2001, s. 466-508. ISBN 83-204-2638-3. 
• Jarosław Szóstka: Fale i anteny. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2001, s. 73-109. ISBN 83-206-1414-7.