Lotto (gra liczbowa)

Kupony i blankiety Lotto

Punkt kolektury Lotto (Sanok)

Lotto (do 1975 Toto-Lotek, do 2009 Duży Lotek) – najstarsza, a zarazem najpopularniejsza w Polsce gra liczbowa organizowana przez Totalizator Sportowy. Pierwsze losowanie odbyło się 27 stycznia 1957. Polega na wytypowaniu wyników losowania 6 liczb z zakresu od 1 do 49. Gra potocznie nazywana jest Toto-Lotkiem, ze względu na przyzwyczajenie starszych graczy do pierwszej nazwy loterii.

Zasady

Gra polega na poprawnym wytypowaniu losowanych w wyznaczonych terminach liczb (obecnie są to wtorki, czwartki i soboty około 22:15). Podczas jednego losowania losowanych jest 6 liczb. Typowanie odbywa się przez zaznaczenie liczb na blankiecie, a od czasu wprowadzenia przez Totalizator Sportowy lottomatów (stopniowo w okresie od września 1991 do stycznia 1995) liczby mogą być typowane także przez system informatyczny. Jest to tzw. metoda "na chybił trafił". Istnieje możliwość zawierania zakładów systemowych. W zakładach takich typuje się od 7 do 12 liczb. Jest to dokładnie równoważne z obstawieniem wszystkich kombinacji 6 liczb z 7, 6 z 8 itd.

Historia

Toto-Lotek i Duży Lotek

Początkowo losowania Toto-Lotka, a później Dużego Lotka odbywały się raz w tygodniu – w niedzielę. W czerwcu 1984 przeniesiono je na soboty. W październiku 1991 wprowadzono losowania środowe. Wtedy też ustalono gwarantowaną pulę na wygrane I stopnia wynoszącą wówczas 1 miliard PLZ. W listopadzie 1996 wprowadzono zasadę kumulacji wygranych I stopnia, dzięki czemu pule na wygrane I stopnia mogą sięgać ogromnych kwot. W wyniku kumulacji rekordowa wygrana padła w Gdyni 9 lutego 2012 i wynosiła 33 787 496,10 PLN. Wylosowane liczby to: 9,12,17,23,28 i 49. Rekordowa pula nagród I stopnia wyniosła 56 166 593,20 PLN w dniu 27 września 2011, jednak została podzielona między dwóch zwycięzców. Wylosowane liczby to: 14, 15, 25, 27, 37 i 40.

W celu zwiększenia przychodów firmy Totalizator Sportowy 4 września 2007 wprowadził trzecie w tygodniu losowanie Dużego Lotka. Losowania środowe zastąpiono wtorkowym i czwartkowym, sobotnie pozostawiono bez zmian. Najwięcej wygranych I stopnia – 80 – stwierdzono po losowaniu 30 marca 1994. Wylosowano wówczas liczby: 11, 16, 23, 30, 35 i 41. Każda z wygranych wyniosła poniżej 70 mln PLZ (dla porównania główna wygrana wynosiła wtedy 1 mld PLZ).

Lotto

9 października 2009 gra zmieniła nazwę na Lotto, ze względu na to, iż inne europejskie gry liczbowe mają taką samą nazwę – jak dotąd tę nazwę nosiła tylko loteria. Główne zasady gry nie uległy zmianie, zmodyfikowano natomiast podział puli na poszczególne stopnie wygranych, wzrosła cena pojedynczego zakładu i, co za tym idzie, wysokość wygranych i kumulacji.

Dni losowań

Dzień losowania	Okres przeprowadzania losowań
wtorek	2007 – nadal
środa	1991 – 2007
czwartek	2007 – nadal
sobota	1984 – nadal
niedziela	1957 – 1984

Najwyższe kumulacje i podział pieniędzy na wygrane

Na wygrane przeznacza się przynajmniej 51% stawek wpłaconych w grze.

Od 2009 roku wprowadzono 25% dopłaty do stawki. Czyli z kuponu Lotto za 3,00 PLN na wygrane przeznaczone jest przynajmniej 51% z 2,40 PLN (dopłata 0,60 groszy). Zostaje 1224 PLN na wygrane, czyli na zysk Totalizatora i wymienionych w dopłacie ministerstw przeznaczone maksymalnie jest 59,2%. Nie uwzględniając ewentualnego podatku od wygranej (od jednorazowych wartości wygranych powyżej 2280 złotych, zryczałtowany podatek dochodowy wynosi 10% wygranej kwoty). Co oznacza, że mniej niż 40,8% wpłaconych kwot może zostać w kieszeni zwycięskich graczy.

Rekordowe kumulacje w Dużym Lotku:
Data kumulacji	Wylosowanie liczby	Pula na wygrane I stopnia	Liczba wygranych I stopnia
27 września 2011	14 15 25 27 37 40	56 166 593,20 PLN	2
6 listopada 2008	8,13,18,21,24,47	40 466 171,50 PLN	5
29 lipca 2008	2,6,15,25,29,30	37 796 991,20 PLN	4
29 września 2009	6,14,28,44,45,48	37 367 546,30 PLN	8
9 lutego 2012	9,12,17,23,28,49	33 787 496,10 PLN	1
6 grudnia 2008	11,16,18,19,26,28	31 320 010,80 PLN	3
29 kwietnia 2010	4,7,19,20,34,46	24 636 124,00 PLN	1
4 grudnia 2010	1,8,26,29,38,43	23 378 863,20 PLN	1
22 marca 2011	4,9,12,16,23,34	21 563 992,50 PLN	1
2 maja 2009	3,12,13,20,28,31	20 993 898,60 PLN	2
2 czerwca 2004	2,8,12,15,46,49	20 119 858,20 PLN	1
Podział pieniędzy na wygrane
Stopień wygranej	Kwota przeznaczona na wygrane (1991-2009)	Kwota przeznaczona na wygrane (od 2009)
I	36%	44%
II	10%	8%
III	odsetek zmienny	odsetek zmienny
IV	odsetek zmienny	odsetek zmienny

Stopnie wygranych: I – 6 liczb II – 5 liczb III – 4 liczby IV – 3 liczby

Najwyższe wygrane

Tabela przedstawia 10 najwyższych wygranych w Lotto:

Data	Wygrana	Miasto
9 lutego 2012	33 787 496,10 zł	Gdynia
27 września 2011	28 083 296,60 zł	Reda
27 września 2011	28 083 296,60 zł	Warszawa
29 kwietnia 2010	24 636 124,00 zł	Elbląg
4 grudnia 2010	23 378 863,20 zł	Warszawa
22 marca 2011	21 563 992,50 zł	Skawina
27 marca 2012	21 544 895.80 zł	Warszawa
2 czerwca 2004	20 119 858,20 zł	Warszawa
19 stycznia 2008	17 017 899,80 zł	Gdynia
15 stycznia 2009	17 000 000,00 zł	Kalisz
24 maja 2011	16 954 509,70 zł	Tanowo
22 maja 2010	15 728 274,30 zł	Ostrowiec Świętokrzyski
14 sierpnia 2008	14 546 381,80 zł	Lubin

Statystyki i prawdopodobieństwo

• W Lotto jest możliwych 13 983 816 różnych zestawów 6 liczb. Koszt obstawienia wszystkich kombinacji wynosi 41 951 448 zł. Przy założeniu, że wypełnia się jeden zakład w ciągu sekundy (zamalowane 6 kratek), wypełnienie wszystkich blankietów zajęłoby 13 983 816 sekund, czyli ok. 5 miesięcy. Przy zamalowaniu jednej kratki na sekundę czas wzrósłby sześciokrotnie – do 2,5 roku. Przy zakładach systemowych na wypełnienie blankietów potrzebne są 15 134 sekundy (przy wypełnianiu 12 kratek (zakładu) na sekundę), czyli 4 godziny, 12 minut i 14 sekund. We wszystkich przypadkach nie wzięto pod uwagę czasu związanego z "przemyśleniem" wypełniania a tylko czysto "mechaniczne" wypełnianie. Szansa, że w danym losowaniu wypadnie co najmniej jedna "szóstka" to w sporym przybliżeniu:$[1-( ( ( 13983816-SredniaLiczbaKuponowNaGracza )/13983816 )^{LiczbaGraczy} ) ]*100%$. Dokładnej szansy nie da się wyliczyć bez danych "z natury", czyli liczby niepowtarzających się zakładów (kombinacji). Ten wzór jest tym mniej dokładny, im więcej jest graczy, którzy w danym losowaniu wypełniają bardzo dużo zakładów prostych.
• W losowaniu z 30 marca 1994 stwierdzono aż 80 wygranych I stopnia. Wylosowane liczby to: 11, 16, 23, 30, 35, 41. Liczby te na kuponie tworzą kopertę.
• W losowaniu Dużego Lotka z 29 sierpnia 2007 roku szóstkę trafiło aż 9 osób mimo wylosowanego układu liczb: 39, 41, 43, 45, 47, 48. Ryszard Rembiszewski prowadzący Studio Lotto powiedział jeszcze przed losowaniem, że to losowanie zapamiętamy na długo. Losowanie to od razu wzbudziło wiele podejrzeń wśród dużej liczby grających. Było to ostatnie środowe losowanie Dużego Lotka.
• 6 listopada 2008 (czwartek) wystąpiła pierwsza w historii siedmiokrotna kumulacja (wygranych I stopnia wyniosła 40 466 171,5 PLN. Wylosowano liczby: 8, 13, 18, 21, 24, 47. W losowaniu padło 5 "szóstek", 1021 "piątek", 53675 "czwórek" i 987235 "trójek".
• Wbrew powszechnej opinii nie ma znaczenia czy losujemy liczby (chybił trafił), czy podajemy swoje. Wielu graczy stawia na stałą kombinację, ufając, że w końcu musi ona paść. Jednak szansa, że dana kombinacja nie padnie przez 1000 lat, wynosi 98,9%.
• W 1995 w Olsztynie ten sam gracz trafił dwie "szóstki" w odstępie dwóch tygodni.
• Wylosowanie każdej możliwej "szóstki" liczb jest tak samo prawdopodobne. Autorzy "systemów" na zakłady Lotto sugerujący odrzucenie "najmniej prawdopodobnych wyników" (np. 1, 2, 3, 4, 5, 6) oszukują swoich odbiorców – wylosowanie wspomnianej "szóstki" jest równie prawdopodobne, co wylosowanie każdego innego zbioru sześciu liczb.
• Gdyby zwiększyć liczbę kul o jeden (do 50 kul), to liczba kombinacji zwiększyłaby się o 1 906 884 (do 15 890 700 kombinacji).
• 8 października 2009 r. odbyło się ostatnie w historii losowanie pod nazwą "Duży Lotek". Wylosowano liczby: 8, 12, 17, 25, 29, 40.

Prawdopodobieństwo trafienia w Lotto

Liczba trafionych numerów	Liczba w pełnym zbiorze	Szansa wygranej
6*	1 (0,0000072%)	1:13 983 816
5*	258 (0,0018%)	~1:54 201
4*	13 545 (0,097%)	~1:1032
3*	246 820 (1,77%)	~1:57
2	1 851 150 (13,2%)	~1:7,5
1	5 775 588 (41,3%)	~1:2,4
0	6 096 454 (43,6%)	~1:2,3

* liczba trafnych numerów, za którą przewidziano nagrody

• Prawdopodobieństwo trafienia głównej nagrody (szóstki) w ciągu całego życia:

Liczba zakładów prostych na jedno losowanie	Szansa wygranej	Szansa wygranej (%)
1	~1:2690	0,037%
2	~1:1345	0,074%
3	~1:897	0,11%
5	~1:538	0,19%
7*	~1:385	0,26%
10	~1:269	0,37%
28*	~1:97	1,04%
50	~1:54	1,84%
84*	~1:33	3,08%
100	~1:27	3,65%
210*	~1:13	7,51%
462*	~1:6	15,79%
924*	~1:3,4	29,08%
1000	~1:3,2	31,06%
2000	~1:1,9	52,47%
5000	~1:1,2	84,43%
10 000	~1:1,02	97,58%

* zakłady systemowe w przeliczeniu na zakłady proste

wyliczenia przy założeniu 2 losowań na tydzień przez 50 lat = 5200 losowań

Prawdopodobieństwo ze w przeciągu n losowań zostaną trafione k liczb wynosi:

${ {1-(1-p)^n} }$

• p – prawdopodobieństwo trafienia k liczb w jednym losowaniu
• n – liczba losowań

Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie k liczb

Prawdopodobieństwo trafienia w dokładnie k z sześciu wylosowanych liczb można obliczyć według wzoru:

$\frac{ {6 \choose k}\times {49 - 6 \choose 6 - k} }{ {49 \choose 6} }$

Poszczególne człony wzoru biorą się z następującego rozumowania:

• ${ {49 \choose 6} }$ to liczba wszystkich możliwych układów 6 różnych liczb, losowanych z 49 bez zwracania (wynika to z zasad kombinatoryki). Na tyle sposobów można więc wylosować 6 z 49 liczb.
• ${6 \choose k}$ – na tyle sposobów spośród 6 liczb można trafić dokładnie k liczb
• ${49 - 6 \choose 6 - k}$ – na tyle sposobów można pozostałych 6-k z typowanych liczb "spudłować" (czyli trafić w pozostałe, niewylosowane 43 liczby)

Prawdopodobieństwo trafienia "szóstki"

Zakładając, że chcemy trafić wszystkie liczby (czyli 6), szansa, że wygramy, wynosi

$1 : {49 \choose 6} = 1 : \frac{49!}{6! \times (49 - 6)!} = \frac{1}{13~983~816}$

Bowiem w losowaniu bez zwracania jest tylko jeden taki układ liczb (kolejność w jakiej będą losowane te liczby nie ma znaczenia).

Prawdopodobieństwo trafienia "piątki"

Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie pięciu spośród sześciu wylosowanych liczb wynosi

$\frac{ {6 \choose 5}\times {49-6 \choose 1} }{ {49 \choose 6} } = \frac{258}{13~983~816} \approx \frac{1}{54~201}$

Ze zbioru 6 wylosowanych liczb w losowaniu należy mieć na kuponie dowolne 5 (jest sześć możliwości – możemy nie mieć na kuponie dowolnej z 6 wylosowanych liczb) oraz 1 dowolną liczbę ze zbioru 43 niewylosowanych liczb.

Prawdopodobieństwo trafienia "czwórki"

Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie czterech spośród sześciu wylosowanych liczb wynosi

$\frac{ {6 \choose 4}\times {49-6 \choose 2} }{ {49 \choose 6} } = \frac {15 \times 903} { {49 \choose 6}} = \frac{13~545}{13~983~816} \approx \frac{1}{1~032}$

Prawdopodobieństwo trafienia "trójki"

Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie trzech spośród sześciu wylosowanych liczb wynosi

$\frac{ {6 \choose 3}\times {49-6 \choose 3} }{ {49 \choose 6} } = \frac {20 \times 12341} {{49 \choose 6} } = \frac{246~820}{13~983~816} \approx \frac{1}{57}$

Inne

Prawdopodobieństwa tego, że trafimy przynajmniej l liczb można policzyć z następującego wzoru:

$\begin{align} & P(l) + P(l+1) + \ldots + P(6) = \\ & = \sum_{k=l}^{6} {\frac{ {6 \choose k}\times {49-6 \choose 6 - k} }{ {49 \choose 6} }} \end{align}$

gdzie P(l) = prawdopodobieństwo trafienia dokładnie l liczb (patrz wyżej), $l \in \{ 1, \ldots, 6 \}$

Zastosowanie tego wzoru do policzenia, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia wygrywających sytuacji, da nam:

• dla l = 5 : $\frac {259} {13 983 816} \approx \frac{1}{53991,57}$ (prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej "piątki")

• dla l = 4: $\frac {13 804} {13 983 816} \approx \frac{1}{1013,03}$ (prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej "czwórki")

• dla l = 3: $\frac {260 624} {13 983 816} \approx \frac{1}{53,66}$ (prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej "trójki")

Linki zewnętrzne

• Witryna Lotto
• Archiwum wyników