Postać Frobeniusa

Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy m x m, nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa), to jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco:

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -c_{0}& -c_{1}& -c_{2}& -c_{3}& \cdots & -c_{m-2} & -c_{m-1} \end{pmatrix}$

Przykłady:

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 17 & -5 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 17 & -5 & 0\\ \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 17 & -5 & 0 & 4\\ \end{pmatrix}$

Klasyfikacja

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli $K$ jest ciałem, a $K[X]$ jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem $K[X]$ jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy $d_i$ na miejscach $(i,i)$, przy czym niezerowe wielomiany $d_i$ są unormowane i wszystkie wielomiany $d_i$ spełniają warunek $d_i|d_{i+1}$.

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych $\mathbb Z$ odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami "diagonalnymi" $d_i$ dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy "diagonalne" $d_i$ nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli $D_i$ jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia $i$ macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

$d_1=D_1$, $d_{i+1}=D_{i+1}|D_i$.

Zobacz też

• Postać kanoniczna Jordana