Macierz Hilberta

Macierz Hilberta - macierz kwadratowa z elementami danymi wzorem:

$h_{ij} = \frac{1}{i+j-1}$

Na przykład macierz Hilberta 5 × 5 wygląda następująco:

$H = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}$

Macierz Hilberta jest podręcznikowym przykładem macierzy źle uwarunkowanej. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Hilberta stopnia N wynosi:

$\operatorname{cond}(H_N)=O\left(\frac{e^{3.5255N}} {\sqrt{N}}\right)$.

Numerycznie rozwiązywanie nawet niewielkich układów równań z tą macierzą jest zatem praktycznie niemożliwe.

Zobacz też

• David Hilbert