Macierz diagonalna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

Definicja

Macierz kwadratową $\mathbf{A} = (a_{ij})$ stopnia $n$ nazywa się diagonalną, jeżeli

$a_{ij} = 0 \mbox{ dla } i \ne j, \mbox{ gdzie } i, j = 1, 2, \dots, n$.

Często oznacza się ją symbolem $\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$, gdzie $d_i = a_{ii}\,$ są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.

Przykłady

Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz

$\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \mathrm{diag}(-3, 1, 0, 4)$.

Macierzami diagonalnymi są również:

• macierze stopnia pierwszego (skalary),
• macierze zerowe (kwadratowe),
• macierze jednostkowe,
• macierze skalarne.

Własności

Macierze diagonalne stopnia $n$ tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy kwadratowych stopnia $n$. Oznacza to m.in., że suma i iloczyn (Cauchy'ego) macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Stąd dla macierzy

$\mathbf{A} = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$

oraz

$\mathbf{B} = \mathrm{diag}(b_1, b_2, \ldots, b_n)$

zachodzą działania

$\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathrm{diag}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)$,

$\mathbf{AB} = \mathrm{diag}(a_1 b_1, a_2 b_2, \dots, a_n b_n)$.

Zatem potęgowanie macierzy diagonalnej o wykładniku naturalnym $k$ sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:

$\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^k = \mathrm{diag}(d_1^k, d_2^k, \dots, d_n^k)$.

Wyznacznik (o ile jest zdefiniowany) macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej, jeżeli jest on elementem odwracalnym (dla liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych, lub ogólniej, ciał: niezerowy), to macierz diagonalna jest nieosobliwa. Macierz dołączona do macierzy diagonalnej również jest diagonalna.

Macierz diagonalna jest odwracalna, jeżeli każdy jej element jest odwracalny (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:

$\mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \mathrm{diag}(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})$.

Każda macierz diagonalna jest symetryczna, jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również normalna. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.

Zobacz też

• diagonalizacja
• macierz wstęgowa

Linki zewnętrzne

• Macierz diagonalna (ang.) na PlanetMath