Macierz dołączona

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz dołączona – w algebrze liniowej macierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).

Wykazuje ona duży związek z wyznacznikiem danej macierzy, wiążąc wiele wzorów go wykorzystujących, np. rozwinięcie Laplace'a (w tym rekurencyjny wzór na wyznacznik), wzory Cramera (w tym wzór na macierz odwrotną), twierdzenie Cauchy'ego dla wyznaczników, twierdzenie Cayleya-Hamiltona (i jego uogólnienie: lemat Nakayamy).

Niżej rozważa się macierze o elementach z ciała; wszystkie poniższe wyniki przenoszą się wprost na macierze nad pierścieniem przemiennym.

Definicje

Definicja macierzy dołączonej opiera się na pojęciu dopełnienia algebraicznego elementu $\scriptstyle a_{ij}$ danej macierzy kwadratowej $\scriptstyle \mathbf A$ stopnia $\scriptstyle n$ definiowanego jako minor $\scriptstyle A_{ij}$ (tzn. wyznacznik podmacierzy) stopnia $\scriptstyle n-1$ powstały z usunięcia $\scriptstyle i$-tego wiersza oraz $\scriptstyle j$-tej kolumny macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ pomnożony przez $\scriptstyle (-1)^{i+j}.$ Dopełnienie algebraiczne elementu $\scriptstyle a_{ij}$ macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ będzie oznaczane dalej symbolem $\scriptstyle \mathbf A_{ij},$ tzn.

$\mathbf A_{ij} = (-1)^{i + j} A_{ij}.$

Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ nazywa się macierz $\scriptstyle [\mathbf A_{ij}]$ złożoną z dopełnień algebraicznych elementów $\scriptstyle a_{ij}$ tej macierzy. Macierzą dołączoną $\scriptstyle \mathbf A^\mathrm D$ do macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.

$\mathbf A^\mathrm D = [\mathbf A_{ij}]^\mathrm T = [\mathbf A_{ji}].$

Własności

Jeśli $\scriptstyle \mathbf A$ i $\scriptstyle \mathbf B$ są macierzami kwadratowymi stopnia $\scriptstyle n,$ a $\scriptstyle \mathbf I$ oznacza macierzą jednostkową tego samego stopnia, to

$(\mathbf{AB})^\mathrm D = \mathbf B^\mathrm D \mathbf A^\mathrm D$

oraz

$\left(\mathbf A^\mathrm D\right)^\mathrm T = \left(\mathbf A^\mathrm T\right)^\mathrm D$

i dodatkowo

$\mathbf I^\mathrm D = \mathbf I.$

Rozwinięcie Laplace'a

Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ stopnia $\scriptstyle n,$

$\det \mathbf A = \sum_\sigma (-1)^{\rm{Inv}(\sigma)} a_{1 \sigma_1} \dots a_{n \sigma_n},$

gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru $n$ początkowych liczb naturalnych (dodatnich), zaś $\rm{Inv}(\sigma)$ oznacza liczbę inwersji danej permutacji $\sigma,$ wynikają wzory przedstawiające go jako kombinację liniową elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.

$\det \mathbf A = a_{i1} \mathbf A_{i1} + \dots + a_{in} \mathbf A_{in}$

bądź

$\det \mathbf A = a_{1j} \mathbf A_{1j} + \dots + a_{nj} \mathbf A_{nj},$

gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace'a wyznacznika macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ względem jej $\scriptstyle i$-tego wiersza, drugi zaś – względem jej $\scriptstyle j$-tej kolumny.

Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).

Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną

Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace'a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy $\scriptstyle \mathbf{AA}^\mathrm D.$ Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:

$\mathbf A \mathbf A^\mathrm D = \mathbf A^\mathrm D \mathbf A = (\det \mathbf A) \mathbf I.$

Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej $\scriptstyle \mathbf A^\mathrm D$ z macierzą odwrotną $\scriptstyle \mathbf A^{-1}$ (definiowaną wzorem $\scriptstyle \mathbf A \mathbf A^{-1} = \mathbf A^{-1} \mathbf A = \mathbf I$) do macierzy $\scriptstyle \mathbf A.$ Jeśli $\scriptstyle \mathbf A$ jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn. $\scriptstyle \det \mathbf A \ne 0,$ to

$\mathbf A^{-1} = (\det \mathbf A)^{-1} \mathbf A^\mathrm D.$

Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace'a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy $\scriptstyle (\det \mathbf A) \mathbf I$ we „wzorze podstawowym”.

Twierdzenie Cauchy'ego

„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy'ego:

$\det(\mathbf{AB}) \mathbf I = \mathbf{AB}(\mathbf{AB})^\mathrm D = \mathbf A \left(\mathbf{BB}^\mathrm D\right) \mathbf A^\mathrm D = \mathbf A (\det \mathbf B) \mathbf I \mathbf A^\mathrm D = (\det \mathbf B) \mathbf A \mathbf A^\mathrm D = (\det \mathbf A)(\det \mathbf B) \mathbf I,$

gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy, skąd

$\det(\mathbf{AB}) = \det \mathbf A \det \mathbf B.$

Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej $\scriptstyle \mathbf A$ wynika $\scriptstyle 1 = \det \mathbf I = \det\left(\mathbf{AA}^{-1}\right) = \det \mathbf A \det \mathbf A^{-1},$ czyli

$\det \left(\mathbf A^{-1}\right) = \left(\det \mathbf A\right)^{-1}.$

Ponieważ $\scriptstyle \mathbf A^\mathrm D = (\det \mathbf A) \mathbf A^{-1},$ to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika

$\det \mathbf A^\mathrm D = \det \bigl((\det \mathbf A) \mathbf A^{-1}\bigr) = (\det \mathbf A)^n (\det \mathbf A)^{-1} = (\det \mathbf A)^{n-1}.$

Wzory Cramera

Jeśli $\scriptstyle \mathbf{AX} = \mathbf B,$ to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez $\scriptstyle \mathbf X$ daje $\scriptstyle (\det \mathbf A) \mathbf X = \mathbf A^\mathrm D \mathbf{AX} = \mathbf A^\mathrm D \mathbf B,$ skąd

$\mathbf X = \frac{\mathbf A^\mathrm D \mathbf B}{\det \mathbf A},$

o ile tylko $\scriptstyle \det \mathbf A \ne 0.$ Elementy macierzy $\scriptstyle \mathbf X$ nazywane są właśnie wzorami Cramera.

Wielomian charakterystyczny

Jeśli $\scriptstyle p_\mathbf A(t) = \det(\mathbf A - t\mathbf I) = t^n - p_1 t^{n-1} + \dots + (-1)^n p_n$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy $\scriptstyle \mathbf A,$ to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi $\scriptstyle \mathbf A^n - p_1 \mathbf A^{n-1} + \dots + (-1)^n p_n \mathbf I = \mathbf \Theta,$ skąd

$(-1)^n p_n \mathbf I = \mathbf A\left(-p_1 \mathbf A^{n - 1} + p_2 \mathbf A^{n - 2} + \dots + (-1)^{n - 1} p_{n - 1} \mathbf I\right),$

a ponieważ $\scriptstyle p_\mathbf A(0) = \det \mathbf A = (-1)^n p_n,$ to oznaczając $\scriptstyle q(\mathbf A) = -p_1 \mathbf A^{n - 1} + p_2 \mathbf A^{n - 2} + \dots + (-1)^{n - 1} p_{n - 1} \mathbf I$ otrzymuje się

$(\det \mathbf A) \mathbf I = \mathbf A q(\mathbf A),$

przy czym $\scriptstyle q(\mathbf A) = \mathbf A^\mathrm D,$ skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.

Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ ma postać

$\mathrm d(\det \mathbf A) = \mathrm{tr}\left(\mathbf A^\mathrm D\ \mathrm d\mathbf A\right),$

gdzie $\scriptstyle \mathrm d\mathbf A$ oznacza różniczkę macierzy $\scriptstyle \mathbf A,$ a symbol $\scriptstyle \mathrm tr$ oznacza ślad macierzy.

Przykłady

• Dopełnieniem algebraicznym macierzy stopnia $\scriptstyle 3$

$\mathbf A = \begin{bmatrix} \color{Magenta} 1 & 2 & 3 \\ \color{Red} 4 & \color{Orange} 5 & \color{Orange} 6 \\ \color{Magenta} 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

względem elementu $a_{21}$ jest wyznacznik $\left|\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{smallmatrix}\right|$ pomnożony przez $\scriptstyle (-1)^{2 + 1} = -1,$ a więc

$\mathbf A_{21} = (-1) (2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) = -(18 - 24) = 6,$

podobnie $\scriptstyle \mathbf A_{22} = -12$ i $\scriptstyle \mathbf A_{23} = 6$ oraz $\scriptstyle \mathbf A_{11} = -3$ i $\scriptstyle \mathbf A_{31} = -3.$ Macierz dopełnień algebraicznych macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ jest w tym wypadku równa macierzy do niej dołączonej (ponieważ jest ona symetryczna),

$\mathbf A^\mathrm D = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{bmatrix}.$

Rozwinięciem Laplace'a macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ względem jej drugiego wiersza jest wyznacznik

$\det \mathbf A = a_{21} \mathbf A_{21} + a_{22} \mathbf A_{22} + a_{23} \mathbf A_{23} = \color{Red} 4 \color{Black} \cdot 6 + \color{Orange} 5 \color{Black} (-12) + \color{Orange} 6 \color{black} \cdot 6 = 24 - 60 + 36 = 0,$

a względem jej pierwszej kolumny:

$\det \mathbf A = a_{11} \mathbf A_{11} + a_{21} \mathbf A_{21} + a_{31} \mathbf A_{31} = \color{Magenta} 1 \color{Black} (-3) + \color{Red} 4 \color{Black} \cdot 6 + \color{Magenta} 7 \color{black} (-3) = -3 + 24 - 21 = 0.$

Analogicznie dla pozostałych wierszy i kolumn. Ogólnie $\scriptstyle \mathbf A \mathbf A^\mathrm D = \mathbf A \mathbf A^\mathrm D = \mathbf \Theta,$ gdzie $\scriptstyle \mathbf \Theta$ oznacza macierz zerową trzeciego stopnia; w obu przypadkach otrzymane wyniki oznaczają, iż $\scriptstyle \mathbf A$ jest nieodwracalna.

• Macierzą dołączoną do macierzy $\scriptstyle \mathbf M = \left[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right]$ jest macierz $\scriptstyle \mathbf M^\mathrm D = \left[\begin{smallmatrix} d & -b \\ -c & a \end{smallmatrix}\right].$ Zachodzi dla niej

$\mathbf M \mathbf M^\mathrm D = \begin{bmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -bc + da \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (ad - bc) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = (\det \mathbf M)\mathbf I.$

Jeśli więc $\scriptstyle \det \mathbf M \ne 0,$ to

$\mathbf M^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf M} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$