Macierz idempotentna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz idempotentna - macierz kwadratowa $A \in M_n(\mathbb{K})$ spełniająca równość: $A^2 = A.\,$

Przykłady

• $\left[ \begin{matrix} 1 \end{matrix}\right]$

• $\left[ \begin{matrix} 2 & -1\\ 2 & -1 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]$

• $\left[ \begin{matrix} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]$

Właściwości

• Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa to jest osobliwa
• Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej $A\,$ jest postaci $F_A(\lambda)=(1-\lambda)^i \cdot \lambda^j$.
• Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci
     $\left[ \begin{matrix} I_{i\times i} & \Theta_{i\times j} \\ \Theta_{j\times i} & \Theta_{j\times j} \end{matrix}\right]$.
  W powyższej postaci klatkowej macierz $I\,$ jest (kwadratową) macierzą jednostkową, macierze $\Theta\,$ są macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów.
  Oczywiście każda macierz powyższej postaci jest macierzą idempotentną.
• Jeśli $A\,$ jest macierzą idempotentną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej $C\,$ macierz $CAC^{-1}\,$ też jest macierzą idempotentną.

Ponadto

Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej.

Zobacz też

• idempotentność
• mnożenie macierzy