Macierz klatkowa

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierzą klatkową w algebrze liniowej nazywamy rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja

Rozważmy macierze: $A = [a_{ij}]_{i = 1, \dots ,n \atop j = 1, \dots ,n }, B = [b_{ij}]_{i = 1, \dots ,m \atop j = 1, \dots ,m }, C = [c_{ij}]_{i = 1, \dots ,n \atop j = 1, \dots ,m }, D = [d_{ij}]_{i = 1, \dots ,m \atop j = 1, \dots ,n }.$

Wówczas macierz $E = [e_{ij}]_{i = 1, \dots ,n+m \atop j = 1, \dots ,n+m }$ zdefiniowaną następująco:

$e_{ij} := \begin{cases} \begin{matrix} a_{ij}, & i \leqslant n, & j \leqslant n, \\ b_{ij}, & i > n, & j > n, \\ c_{ij}, & i \leqslant n, & j > n, \\ d_{ij}, & i > n, & j \leqslant n \end{matrix} \end{cases}$

nazywamy macierzą klatkową. Macierz $E \,$ można zapisać w postaci

$E := \begin{bmatrix} A & C \\ D & B \end{bmatrix}$

Przykład

Macierz

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 4 & 4\\ 3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}$

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

$P_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, P_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2\end{bmatrix}, P_{21} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}, P_{22} = \begin{bmatrix} 4 & 4\\ 4 & 4\end{bmatrix}.$

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

$P_{\mathrm{podzielone}} = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}.$

Macierz klatkowo-diagonalna

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna $A \,$ ma postać

$A = \begin{bmatrix} A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{n} \end{bmatrix}$

gdzie $A_{k} \,$ jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowych

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1k} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mk} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1k} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nk} \end{bmatrix}$

gdzie $C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots +A_{im}B_{mj}$. Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowych

Niech $\mathbb K$ będzie ciałem.

• Jeżeli macierz $A \in M_{n \times n}(\mathbb K), B \in M_{m \times m}(\mathbb K), D \in M_{m \times n}(\mathbb K)$ oraz $\Theta$ jest macierzą zerową typu $n \times m$ to:

  $\det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D & B \end{bmatrix} = \det(A) \det(B)$ (dowód w przypisach)

• Jeżeli macierz $A \in M_{m \times n}(\mathbb K), C \in M_{m \times m}(\mathbb K), D \in M_{n \times n}(\mathbb K)$ oraz $\Theta$ jest macierzą zerową typu $n \times m$, to:

  $\det \begin{bmatrix} A & C \\ D & \Theta \end{bmatrix} = (-1)^{mn} \det(C) \det(D)$

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.