Macierz stochastyczna

Macierz stochastyczna jest to macierz kwadratowa, której elementami są nieujemne liczby rzeczywiste i w której odpowiednie sumy elementów dają 1. W zależności od tego czy sumy elementów w każdym wierszu czy w każdej kolumnie dają 1 macierz stochastyczną nazywamy odpowiednio prawą lub lewą macierzą stochastyczną. Jeśli macierz jest lewą i prawą macierzą stochastyczną to nazywa się ją macierzą podwójnie stochastyczną.

Oczywiście macierz transponowana lewej macierzy stochastycznej jest prawą macierzą stochastyczną i odwrotnie. Podobnie transpozycja macierzy zachowuje własność podwójnej stochastyczności. Każda macierz stochastyczna ma wartość własną równą 1.

Przykłady

Następująca macierz jest lewą macierzą stochastyczną:

$L = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.1 & 0 \\ 0.3 & 0.7 & 0.5 \\ 0.5 & 0.2 & 0.5 \end{bmatrix}$

Poniższa macierz jest prawą macierzą stochastyczną:

$R = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 & 0 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}$

Macierz S poniżej jest podwójną macierzą stochastyczną:

$S = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.5 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.3 & 0.1 & 0.6 \end{bmatrix}$