Macierz symetryczna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}]$ stopnia $\scriptstyle n,$ która dla $\scriptstyle i, j = 1, \dots, n$ spełnia warunek

$a_{ij} = a_{ji},$

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

$\mathbf A^\mathrm T = \mathbf A.$

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
• Dla dowolnej macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ macierz $\scriptstyle \mathbf{AA}^\mathrm T$ jest symetryczna (takie mnożenie jest zawsze wykonalne); ponadto $\scriptstyle \mathbf{AA}^\mathrm T = \left(\mathbf{AA}^\mathrm T\right)^\mathrm T,$ a więc macierz ta również jest symetryczna.
• Dla macierzy kwadratowej $\scriptstyle \mathbf A$ macierz $\scriptstyle \mathbf A + \mathbf A^\mathrm T$ jest symetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $\scriptstyle n$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli $\scriptstyle \mathbf A$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $\scriptstyle n,$ to

  $\mathbf A = \tfrac{1}{2}\left(\mathbf A + \mathbf A^\mathrm T\right) + \tfrac{1}{2}\left(\mathbf A - \mathbf A^\mathrm T\right),$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są rzeczywiste.

Przykłady

Poniższe macierze są symetryczne:

$\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}.$

Bibliografia

• Topp J.: Algebra liniowa. Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005, strona 73, ISBN 83-7348-135-4

Zobacz też

• macierz antysymetryczna
• macierz hermitowska
• forma dwuliniowa