Macierze Pauliego

Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej dlatego można się spotkać też z nazwami "Spinowe macierze Pauliego" lub "Macierze spinowe Pauliego".

Wyglądają one następująco:

$\sigma_1 = \left[ \begin{matrix} 0&&1\\ 1&&0 \end{matrix} \right]$

$\sigma_2 = \left[ \begin{matrix} 0&&-i\\ i&&0 \end{matrix} \right]$

$\sigma_3 = \left[ \begin{matrix} 1&&0\\ 0&&-1 \end{matrix} \right]$

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń $\sigma_x \equiv \sigma_1$, $\sigma_y \equiv \sigma_2$ i $\sigma_z \equiv \sigma_3$.

W literaturze używa się również macierzy σ₀, która jest zwykłą macierzą identyczności

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową wymiaru 2×2 tworzą bazę w przestrzeni macierzy zespolonych wymiaru 2×2.

Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

$\begin{matrix} \hbox{det} (\sigma_i) &=& -1 & \\ \hbox{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \\ \end{matrix}$

gdzie i=1,2,3. Macierze Pauliego spełniają następujące relacje komutacji oraz antykomutacji:

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& \sigma_i\sigma_j - \sigma_j\sigma_i &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& \sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i &=& 2 \delta_{i j} I \end{matrix}$

gdzie ε_ijk jest symbolem Leviego-Civity, a δ_ij jest deltą Kroneckera.

Niektóre z innych własności macierzy Pauliego:

$\begin{matrix} \sigma_i^2 & = & I\\ \sigma_i \sigma_j & = & I \delta_{i j} + i \epsilon_{i j k} \sigma_k \\ \exp(i\, \theta\, \vec v\, \vec \sigma) & = & I \cos(\theta) + i\, \vec v\, \vec \sigma \sin(\theta)\\ \end{matrix}$

W ostatnim wzorze $\vec v$ jest wektorem trójwymiarowym długości 1: $|\vec v| = 1$, a $\vec \sigma = [\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]^T$

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako $X,Y,Z$ kolejno dla $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$.

Zobacz też

• wektor Blocha