Atlas (matematyka)

Atlas – w topologii, dziale matematyki, opisuje sposób w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową. Każdy jej kawałek opisany jest za pomocą mapy (również: mapy współrzędnych lub lokalnego układu współrzędnych).

Mapy i atlasy

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór $\scriptstyle U_\alpha$ zaznaczono na czerwono, $\scriptstyle U_\beta$ na niebiesko, a ich część wspólną $\scriptstyle U_{\alpha, \beta}$ na fioletowo; przekształcenie przejścia $\scriptstyle \varphi_{\alpha,\beta}$ (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie $\scriptstyle \varphi_\alpha^{-1}$ ($\scriptstyle \varphi_\alpha$ to górna strzałka) oraz $\scriptstyle \varphi_\beta$ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość topologiczna $M$. Parę $(U, \varphi),$ gdzie $U$ jest otwartym podzbiorem $M$ natomiast $\varphi\colon U \to V$ jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór $V$ przestrzeni $\mathbb R^n$ nazywa się mapą na $M$. Dla dwóch map $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ i $(U_\beta, \varphi_\beta)$ na $M$ o tej własności, że zbiór

$U_{\alpha, \beta} := U_\alpha \cap U_\beta$

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

$\varphi_{\alpha, \beta}\colon \varphi_\alpha(U_{\alpha, \beta}) \to \varphi_\beta(U_{\alpha, \beta})$

wzorem

$\varphi_{\alpha, \beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}.$

Przekształcenia $\varphi_\alpha$ i $\varphi_\beta$ są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zbiór $\mathcal A = \bigl\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\colon\, \alpha\bigr\}$ map na $M,$ które stanowią pokrycie zbioru $M,$ nazywany jest atlasem rozmaitości M.

Własności

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej, na mocy twierdzenia Lindelöfa, ma atlas przeliczalny. Dwie nakładające się mapy $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ oraz $(U_\beta, \varphi_\beta)$ są zgodne w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne jako przekształcenie przestrzeni euklidesowej w siebie.

Atlasem gładkim na $M$ nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na $M$ przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

Dwa atlasy $\mathcal A$ oraz $\mathcal B$ na $M$ są zgodne w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z $\mathcal A,$ które nakładają się na mapy z $\mathcal B$ są zgodne w sposób gładki. Wówczas $\mathcal A \cup \mathcal B$ również jest atlasem gładkim na $M.$ Umożliwia to wprowadzenie naturalnej relacji równoważności, dzięki której można rozważać klasę równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki, która nazywana jest atlasem maksymalnym. O rozmaitości $M$ wraz z atlasem maksymalnym mówi się, że ma strukturę gładką. Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Uogólnienia

Wymagania co do różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić tak, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko k-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę C^k lub analityczną na rozmaitości zamiast gładkiej. Podobnie definiuje się rozmaitość zespoloną wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• pierścień bordyzmu

Bibliografia

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2006. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Mark R. Sepanski: Compact Lie Groups. Springer-Verlag, 2007. ISBN 978-0-387-30263-8. 

Linki zewnętrzne

• Atlas autorstwa Todda Rowlanda