Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)

Trójwymiarowy proces Wienera jest przykładem martyngału

Martyngał w teorii prawdopodobieństwa to proces stochastyczny (ciąg zmiennych losowych), w którym warunkowa wartość oczekiwana zmiennej w momencie t, gdy znamy wartości do jakiegoś wcześniejszego momentu s, jest równa wartości w momencie s.

Historia

Oryginalnie, termin martyngały oznaczał pewne strategie grania w gry hazardowe w XVIII-wiecznej Francji. Najprostsza z takich strategii stosuje się do gry polegającej na obstawianiu rzutu monetą, gdy odgadnięcie wyniku daje wygraną równą postawionej stawce. Strategia polega na podwajaniu stawki po każdej przegranej, tak że pierwsza wygrana pokrywa wszystkie straty i daje wygraną równą pierwotnej stawce. Ta strategia pozwala wygrać z prawdopodobieństwem równym 1, ale tylko przy założeniu że obstawiający ma nieograniczone zasoby pieniędzy. W praktyce wykładniczy wzrost stawek bardzo szybko doprowadziłby tak obstawiającą osobę do bankructwa.

Pojęcie martyngału wprowadził do teorii prawdopodobieństwa Paul Pierre Lévy, a teorię rozwinął Joseph Leo Doob. Jedną z motywacji powstania tej teorii było pokazanie niemożliwości istnienia wygrywających strategii w grach hazardowych.

Definicje

W przypadku dyskretnym, martyngał to dyskretny proces stochastyczny $X_1, X_2, X_3, \dots$ spełniający dla wszystkich $n$ warunki:

$\mathbb E|X_n| < \infty$,

$\mathbb E\left(X_{n+1} \mid X_1, \dots, X_n\right) = X_n$.

Ogólniej, ciąg $Y_1, Y_2, Y_3, \dots$ jest martyngałem w stosunku do ciągu $X_1, X_2, X_3, \dots$ jeśli dla wszystkich $n$ spełnia warunki:

$\mathbb E|Y_n| < \infty$,

$\mathbb E(Y_{n+1}\mid X_1,\dots, X_n) = Y_n$.

Podobnie w przypadku ciągłym, ciągłym martyngałem w stosunku do procesu $X_t$ jest proces stochastyczny $Y_t$ taki że dla dowolnego $t$:

$\mathbb E|Y_t| < \infty$

$\mathbb E\left(Y_t \mid \{ X_\tau, \tau \leqslant s\}\right) = Y_s$ dla dowolnego $s \leqslant t.$

Oznacza to że wartość oczekiwana wyniku w momencie $t$, jeśli znamy wartości do momentu $s$, jest równa zmierzonej wartości w momencie $s$ (o ile $s \leqslant t$).

W pełnej ogólności, martyngałem względem filtracji jest para $\left(\{Y_t\}, \{\mathcal F_t\}\right)$ taka, że

• $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ jest przestrzenią probabilistyczną;
• $\{Y_t\}$ jest procesem stochastycznym adaptowanym do filtracji $\{\mathcal F_t\}$ (czyli $Y_t$ jest $\mathcal F_t$-mierzalne dla wszystkich $t$);
• $\mathbb E|Y_t|<\infty$ dla wszystkich t;
• $\mathbb E\left([Y_t - Y_s] \chi_F\right) = 0$ dla wszystkich $F \in \mathcal F_s$, gdzie $\chi_F$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru $F$.

Przykłady martyngałów

• Niech X_n będzie majątkiem gracza po rzuceniu n razy symetryczną monetą, jeśli gracz wygrywa 1$ za każdego wyrzuconego orła i traci 1$ za każdą wyrzuconą reszkę. Wartość oczekiwana majątku gracza w dowolnym momencie jest równa ostatniej znanej nam wartości tego majątku, a więc jest martyngałem.

• Niech Y_n = X_n² − n, gdzie X_n jest majątkiem gracza z poprzedniego przykładu. Ciąg {Y_n}_n jest martyngałem. Można to wykorzystać do pokazania że oczekiwana wartość odchylenia od zera jest równa pierwiastkowi z liczby wykonanych rzutów.

• (Martyngał de Moivre'a) Załóżmy że moneta którą rzuca gracz z pierwszego przykładu jest "sfałszowana", tak że orzeł wypada z prawdopodobieństwem p, a reszka z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Wtedy $\{(q/p)^{X_n}\}_n$ jest martyngałem w stosunku do {X_n}_n.

• (Urna Pólya). Urna zawiera początkowo r czerwonych i b niebieskich kul. W każdym kroku wyciągamy losową kulę, i zwracamy ją do urny dokładając jeszcze jedną kulę tego koloru jak wylosowana. Niech X_n oznacza liczbę czerwonych kul w urnie po n takich losowaniach i niech Y_n = X_n/(n+r+b). Wtedy ciąg {Y_n}_n jest martyngałem.

• Załóżmy że każda ameba albo dzieli się na dwie ameby potomne (z prawdopodobieństwem p) albo umiera (z prawdopodobieństwem 1 − p). Niech X_n oznacza liczbę ameb po n pokoleniach (w szczególności X_n = 0 jeśli populacja wymrze). Oznaczmy przez r prawdopodobieństwo że populacja kiedyś wymrze. Wtedy $\{\,r^{X_n}\}_n$ jest martyngałem w stosunku do {X_n}_n.

Podmartyngały i nadmartyngały

Dyskretny podmartyngał to ciąg $X_1, X_2, \dots$ całkowalnych zmiennych losowych spełniający warunek

$\mathbb E(X_{n+1} \mid X_1, \dots, X_n) \geqslant X_n$.

Analogicznie, nadmartyngał spełnia warunek

$\mathbb E(X_{n+1} \mid X_1, \dots, X_n) \leqslant X_n$.

Ogólniejsze definicje martyngałów podane wcześniej można przekształcić w odpowiadające im definicje pod- i nadmartyngałów w identyczny sposób.

Przykłady podmartyngałów i nadmartyngałów

• Każdy martyngał jest zarazem podmartyngałem oraz nadmartyngałem. Odwrotnie: każdy proces stochastyczny, który jest podmartyngałem i nadmartyngałem, jest martyngałem.
• Rozważmy ponownie gracza rzucającego monetą, gdy prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p:
  • Jeśli p jest równe 1/2, gracz średnio nic nie zyskuje ani nie traci – jego majątek w funkcji czasu jest martyngałem.
  • Jeśli p jest mniejsze niż 1/2, gracz średnio częściej traci niż zyskuje – jego majątek w funkcji czasu jest nadmartyngałem.
  • Jeśli p jest większe niż 1/2, gracz średnio częściej zyskuje niż traci – jego majątek w funkcji czasu jest podmartyngałem.
• Dowolna funkcja wypukła określona na martyngale jest podmartyngałem (na podstawie nierówności Jensena). Przykładowo, kwadrat majątku gracza z pierwszego przykładu jest podmartyngałem (co wynika również z faktu że X_n² − n jest martyngałem). Podobnie, każda funkcja wklęsła określona na martyngale jest nadmartyngałem.