Metoda Galerkina

Metoda Galerkina, metoda przybliżonego rozwiązywania problemów z operatorami ciągłymi (np. równania różniczkowe). Opiera się na sprowadzeniu do słabej postaci wariacyjnej, dyskretyzacji przestrzeni funkcji i doprowadzeniu do postaci układu równań liniowych, którego rozwiązanie prowadzi do przybliżonego rozwiązania problemu wyjściowego. Wprowadzenie tej metody przypisywane jest rosyjskiemu matematykowi Borisowi Grigorjewiczowi Galerkinowi.

Szczególnym przypadkiem tej metody jest metoda elementów skończonych.

Idea metody

Słaba postać wariacyjna problemu

W metodzie Galerkina problem sprowadzany jest do słabej postaci wariacyjnej na przestrzeni Hilberta $V$.

Znaleźć $u\in V$ takie by $\forall_{v\in V}\quad a(u,v) = f(v)$.

Funkcjonał $a(\cdot,\cdot)$ jest tutaj formą dwuliniową a $f$ jest ograniczonym operatorem liniowym na $V$.

Dyskretyzacja Galerkina

Dyskretyzacja Galerkina polega na wybraniu dyskretnej podprzestrzeni $V_n \subset V$, wymiaru n i rozwiązaniu w tej podprzestrzeni problemu

Znaleźć $u_*\in V_n$ takie by $\forall_{v_n\in V_n}\quad a(u_*,v_n) = f(v_n)$.

Ortogonalność w metodzie Galerkina

Kluczową własnością metody Galerkina jest to, że błąd jest ortogonalny do wybranej podprzestrzeni. Ponieważ $V_n \subset V$, możemy użyć $v_n$ jako wektora próbnego w oryginalnym równaniu. Dla błędów $e_n = u-u_*$ zachodzi:

$a(e_n, v_n) = a(u,v_n) - a(u_*, v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0.$

Postać macierzowa

Celem metody Galerkina jest na doprowadzenie do postaci układu równań liniowych i rozwiązanie go. W tym celu tworzona jest macierz tego układu.

Niech $e_1, e_2,\ldots,e_n$ stanowią bazę dla przestrzeni $V_n$. Wtedy wystarczy je użyć jako funkcje próbne równania Galerkina, tzn. zagadnienie przybiera postać:

Znaleźć $u_*\in V_n$ takie by dla $i=1,\ldots,n$ zachodziła równość $a(u_*, e_i) = f(e_i)$.

Wyrażamy $u_*$ w tej bazie $u_* = \sum_{j=1}^n u_je_j$ i podstawiamy do powyższego równania otrzymując

$a\left(\sum_{j=1}^n u_je_j, e_i\right) = \sum_{j=1}^n u_j a(e_j, e_i) = f(e_i) \qquad i=1,\ldots,n.$

Powyższe równania stanowią układ równań liniowych, który można zapisać jako

$Au=f,$

gdzie współrzędne macierzy $A$ wyrażają się wzorem

$a_{ij} = a(e_j, e_i),$

zaś elementy wektora prawych stron to

$f_i = f(e_i).$

W stosowanych w praktyce wariantach metody Galerkina często forma dwuliniowa $a(\cdot,\cdot)$ jest symetryczna dzięki czemu macierz układu jest macierzą symetryczną co znacznie upraszcza obliczenia.

Bibliografia

• Kendall E. Atkinson, Weimin Han: Theoretical Numerical Analysis, A Functional Analysis Framework. Springer-Verlag Inc., 2001, s. 450, seria: Texts in Applied Mathematics. ISBN 0-3879-5142-3.  (ang.)
• Bogusław Bożek: Metody obliczeniowe i ich komputerowa realizacja. Wyd. 1. Kraków: UWND AGH, 2005, s. 264. ISBN 83-89388-44-8.  (pol.)
• P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, 1978. ISBN 0-4448-5028-7.  (ang.)

Linki zewnętrzne

• Metoda Galerkina (ang.) w encyklopedii MathWorld