Metoda nawiasów Liego

Nawiasy Liego - to jedna z metod określania, czy układ nieliniowy (np.robot mobilny) jest układem sterowalnym. Zagadnienie to związane jest z algebrą Liego, tzn. muszą być spełnione wszystkie warunki.

Aby zastosować tę metodę potrzebny jest układ sterowania w postaci: $x'=fu_1+gu_2$, gdzie:

1. f, g - bazowe wektory
2. $u_i$ - sterowanie
3. x' - pochodna po czasie z wektora (współrzędnych wewnętrznych lub współrzędnych stanu) q

Do wygenerowania następnego wektora stosowane jest równanie: $[f,g]=\frac{\partial g}{\partial q}f-\frac{\partial f}{\partial q}g$.

Wektory generuje się tak długo, aż uzyska się z ich złożenia macierz o pełnym wymiarze (należy pamiętać o tym, żeby baza generatora nie powtarzała się). Jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to układ jest sterowalny.

Ruch w kierunku [f,g] jest stosunkowo mało wydajny. Dlatego też przyjmuje się, że brane są nawiasy niższego stopnia tak długo, jak długo kierują robot na cel.

Przykład

Dla wektorów:

$f=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\end{bmatrix}^T$

$g=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\end{bmatrix}^T$

$q=\begin{bmatrix}x & y & \theta\end{bmatrix}^T$

jednym z nawiasów Liego jest:

$[f,g]=\begin{bmatrix}\sin\theta & -\cos\theta & 0\end{bmatrix}^T$.

Po złożeniu uzyskujemy macierz:

$\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta \\ \sin\theta & 0 & -\cos\theta \\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

o wyznaczniku równym 1. Układ ten jest układem sterowalnym.

Zobacz też

• Flaga dystrybucji