Metoda strzałów

W analizie numerycznej metodą strzałów nazywamy metodę rozwiązywania zagadnienia brzegowego przez zastąpienie go zagadnieniem początkowym.

Zagadnienia brzegowego równania różniczkowego drugiego rzędu metoda przedstawia się następująco.

$y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y(t_1) = y_1$

Niech $y_a(t)$ oznacza rozwiązanie problemu początkowego

$y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = a$

Zdefiniujmy funkcje F(a) jako różnicę między $y_a(t)$ a ustaloną wartością brzegową y₁.

$F(a) = y_a(t_1) - y_1 \,$

Jeśli problem brzegowy ma rozwiązanie wtedy F ma pierwiastek, i pierwiastek ten jest wartością y'(t₀) która daje rozwiązanie y(t) problemu brzegowego.

Zwykłe metody znajdowania pierwiastków, takie jak metoda bisekcji, Metoda Newtona mogą zostać użyte do znalezienia $a$.

Ilustracja graficzna

Na poniższym rysunku widać, że rozwiązanie problemu początkowego dla dobrze dobranego parametru $a$ jest w przybliżeniu równe rozwiązaniu problemu brzegowego.

Kolorowe linie to styczne funkcji $y_a(t)$ w punkcie $(t_0,y_0)$ dla róznych $a$.