Metoda trapezów

Metoda trapezów – metoda analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych.

Jest to metoda z pamięcią sięgającą jeden krok wstecz. Zatem stan układu w danej chwili jest tu uzależniony od stanu w poprzedniej chwili oraz od aktualnych wymuszeń.

Podstawą metody modeli iterowanych są modele elementów L i C. Równanie definicyjne elementu C ma postać: $\frac {i}{C} = \frac {dv}{dt}$.

W metodzie trapezów równanie różniczkowe jest aproksymowane równaniem różnicowym.

$\frac {v^{(n+1)} - v^{(n)}}{h} = \frac {i^{(n+1)} + i^{(n)}}{2C}$ (1)

gdzie:

$h = t_{n + 1} - t_n$

$v(n) = v(tn)$

$i(n)=i(t \cdot n)$

Pojemność C występująca w powyższych wzorach może być:

• funkcją napięcia: C(v) - element nieliniowy,
• funkcją czasu: C(t) - element parametryczny,
• stałą, niezależną od napięcia i czasu - element liniowy.

Równanie (1) można przekształcić do postaci:

$i^{(n+1)} = \frac {2C}{h} \cdot v^{(n+1)} - (\frac {2C}{h} \cdot v^{(n)} + i^{(n)})$

Analogicznie można opisać element indukcyjny:

• definicja: $\frac {di}{dt} = \frac {v}{L}$
• opis różnicowy:

$\frac {i^{(n+1)} - i^{(n)}}{h} = \frac {v^{(n+1)} + v^{(n)}}{2L}$

$i^{(n+1)} = \frac {h}{2L} \cdot v^{(n+1)} + (i^{(n)} + \frac {h}{2L} \cdot v^{(n)})$

Jeżeli zastąpimy wszystkie elementy L i C występujące w układzie ich modelami iterowanymi, wówczas analizowany układ dynamiczny zostanie zamodelowany iterowanym układem statycznym (zbudowanym tylko z elementów rezystywnych i źródeł) o parametrach modyfikowanych w każdym kroku czasowym. Układ taki dla (n+l) kroku będzie opisany następującym układem równań węzłowych (2):

$G \cdot V^{(n+1)} = J^{(n+1)} + i^{(n)}$

gdzie:

• G - jest macierzą konduktancji ujmującą przewodności wszystkich rezystorów układu, przewodności zawarte w modelach L, i C, oraz źródła sterowane;
• V⁽ⁿ⁺¹⁾ jest wektorem napięć węzłowych w chwili t_n+1;
• J⁽ⁿ⁺¹⁾ jest wektorem prądów źródłowych w chwili t_n+1, utworzonym na podstawie istniejących w układzie fizycznych źródeł prądowych, z których każde ma wydajność będącą określoną funkcją czasu;
• i⁽ⁿ⁾ jest wektorem prądów źródeł „iterowanych" (figurujących w modelach elementów L i C) w chwili t_n
  

Problem rozwiązania układu liniowych równań różniczkowych sprowadza się do iteracyjnego rozwiązywania odpowiedniego układu algebraicznych równań liniowych. Gdy założy się dodatkowo, że krok h jest stały w całym przedziale czasu analizy, wtedy macierz G również pozostaje stała, i równanie (2) można przedstawić w korzystniejszej numerycznie formie (3):

$V^{(n+1)} = G^{-1} \cdot (J^{(n+1)} + i^{(n)})$

Zerowe warunki początkowe

Załóżmy zerowe warunki początkowe i stały krok czasowy h oraz, że analiza odbywa się w przedziale czasu: 0 < t < t_max. Poszczególne etapy są następujące:

1. n : =  0
2. Z zerowych warunków początkowych wynika, że V⁽⁰⁾  =  J⁽⁰⁾  =  i⁽⁰⁾  =  0 skąd też wynika, że wszystkie prądy i napięcia elementów L i C są zerowe dla t = 0.
3. Na podstawie założonego kroku h określić modele iterowane elementów L i C, tzn. stałe wartości występujących tam przewodności, oraz wyrażenia na wydajności źródeł iterowanych.
4. Wygenerować macierz G na podstawie konduktancji rezystorów, konduktancji elementów w modelach iterowanych oraz źródeł sterowanych
5. Odwrócić macierz G → G^-1
6. Na podstawie fizycznych źródeł prądowych utworzyć wektor J⁽ⁿ⁺¹⁾
7. Na podstawie wydajności źródeł iterowanych utworzyć wektor prądów iterowanych i⁽ⁿ⁾ (w pierwszym przebiegu pętli obliczeniowej dla n = 0, mamy i⁽⁰⁾ =  0)
8. Obliczyć V⁽ⁿ⁺¹⁾ z zależności (3)
9. Na podstawie V⁽ⁿ⁺¹⁾ oraz znanych z poprzedniego kroku wartości prądów i napięć elementów L i C obliczyć prądy i napięcia elementów L i C dla kroku (n+1)
10. n: = n+1
11. Jeżeli t_n > t_max, to koniec obliczeń, w przeciwnym przypadku idź do punktu 6.

Niezerowe warunki początkowe

Fizycznie, stan początkowy w układzie jest określany przez wartości napięć na kondensatorach i prądów przez cewki dla t = 0. Natomiast dla umożliwienia startu obliczeń iteracyjnych według przedstawionego algorytmu tenże stan początkowy musi być wyrażony w postaci napięć węzłowych i prądów w elementach L i C dla t = 0. Najprostszą numerycznie i najczęściej stosowaną praktycznie metodą uwzględniania niezerowego stanu początkowego w analizie układów metodą modeli iterowanych jest następujące postępowanie:

• przyjmuje się chwilowo krok obliczeń h₀ o kilka rzędów mniejszy od normalnego kroku h
• oblicza się stan układu dla t = h₀, stosując odpowiednio uproszczone modele iterowane elementów L, C
• stan obliczony w p. b) (tzn. napięcia węzłowe, napięcia i prądy w elementach L, C) przyjmuje się jako stan dla t = 0,
• wracając do kroku normalnego h, prowadzi się iteracyjną analizę dla t  =  k•h, k = l,2...
  

Powyższy tryb postępowania jest stosowany we wszystkich metodach analizy należących do rodziny metod modeli iterowanych.

Start programu analizy metodą trapezów dla niezerowych warunków początkowych:

1. Przyjąć krok h₀ <<h, dla tego kroku obliczyć macierz G_h0 i odwrócić ją
2. Obliczyć prądy źródeł w uproszczonych modelach. Dla elementów L i C o zerowych warunkach początkowych te prądy będą 0.
3. Na podstawie tych prądów utworzyć wektor i₀
4. Obliczyć stan układu dla t = h₀
5. Powrócić do normalnego kroku h oraz pełnych modeli iterowanych. Dla tego kroku obliczyć macierz G i odwrócić ją
6. Przyjąć, że obliczony wektor V reprezentuje napięcia węzłowe
7. Prąd źródła iterowanego dla C jest odwrotnie proporcjonalny do kroku h₀. Zatem wracając do kroku h, należy ten prąd zmniejszyć w stosunku h\h₀
8. Dalsze obliczenia w cyklu opisanym poprzednio.

Linki zewnętrzne

Eugeniusz Rosołowski: Komputerowe metody analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych. [dostęp 2012-03-18].