Metoda współczynników nieoznaczonych

Metoda współczynników nieoznaczonych - zbiorcza nazwa heurystycznych metod całkowania nieoznaczonego, polegających na przewidywaniu ogólnej postaci funkcji pierwotnej (to znaczy postaci zawierającej ewentualnie pewne parametry liczbowe, czyli tzw. współczynniki nieoznaczone), a następnie dokładnego wyliczenia tych parametrów.

Przykłady

Całki funkcji wymiernych

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę pewnego wielomianu

$W(x)=a_nx^n+\ldots + a_1x+a_0$

i skończonej liczby, tzw. ułamków prostych, to znaczy ułamków postaci:

$\frac{A_i}{(x-c_i)^k}$

oraz

$\frac{B_ix+C_i}{(x^2+p_ix+q_i)^k}$,

gdzie $a_n, \ldots, a_0,c_i, A_i,B_i,C_i,p_i,q_i$ są szukanymi liczbami rzeczywistymi, dla pewnej liczby naturalnej $m$ oraz $1\leqslant i\leqslant m$. Liczby te można wyznaczyć rozwiązując odpowiedni układ równań. Znając te liczby jesteśmy w stanie sprowadzić całkowanie danej funkcji wymiernej do sumy prostszych całek, tzn. całek z funkcji takiego rodzaju, których metody całkowania są już znane.

Całki funkcji będących ilorazem wielomianu oraz pierwiastka z trójmianu kwadratowego

Całkowanie funkcji postaci

${W_{n}(x) \over \sqrt{ax^2+bx+c}}$,

gdzie $W_{n}(x)$ jest wielomianem stopnia $n$ można przeprowadzić używając tzw. wzoru Ostrogradskiego, będącego punktem wyjścia do zastosowania metody współczynników nieoznaczonych.

Wzór Ostrogradskiego

$\int{W_{n}(x) \over \sqrt{ax^2+bx+c}}dx = W_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c} + A \int{dx \over \sqrt{ax^2+bx+c}}$,

gdzie $W_{n-1}(x)$ jest pewnym wielomianem stopnia $n-1$, oraz A jest pewną liczbą. Metoda współczynników nieoznaczonych polega w tym przypadku na wyznaczeniu postaci wielomianu $W_{n-1}$ oraz stałej $A$.

Bibliografia

• Grigorij Fichtenholz. Rachunek różniczkowy i całkowy T.2, PWN, Warszawa 1966, s.32
• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski. Analiza matematyczna w zadaniach T.1, PWN, Warszawa 1998, s.338