Przestrzeń metryczna

Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę obiektów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice'a Frécheta.

Definicja

Niech $X$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze $X$) nazywa się funkcję

$d\colon X \times X \to [0, +\infty)$,

która dla dowolnych elementów $a, b, c$ tego zbioru spełnia następujące warunki:

• identyczność nierozróżnialnych,

  $d(a, b) = 0 \iff a = b;$

• symetria,

  $d(a, b) = d(b, a);\,$

• warunek trójkąta,

  $d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b).$

Jeśli $d$ jest metryką w zbiorze $X$, to para $(X, d)$ nazywana jest przestrzenią metryczną.

Uwaga 1.

Niekiedy pomija się warunek nieujemności $d(a, b) \geqslant 0$ przyjmując $d\colon X \times X \to \mathbb R$ zamiast $d\colon X \times X \to [0, +\infty)$.

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

$0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2\cdot d(a,b).$

Uwaga 2.

Zastępując warunek trójkąta warunkiem następującej postaci

$d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(b, c)$

można wyeliminować aksjomat symetrii. Rzeczywiście, przyjmując w powyższym warunku $c=a$ dostajemy:

$d(a, b) \leqslant d(a, a) + d(b, a)=d(b, a)$

podobnie zamieniając $a$ i $b$ oraz przyjmując $c=b$ dostaniemy:

$d(b,a) \leqslant d(b,b) + d(a,b)=d(a,b)$

Z powyższych dwóch nierówności wynika $d(a, b) = d(b, a)\,$.

Przykłady

Niech $\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ oraz $\mathbf y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ będą elementami przestrzeni $\mathbb R^n$.

Metryka euklidesowa

W przypadku jednowymiarowym metryka euklidesowa może być zadana za pomocą wartości bezwzględnej wzorem

$d_e(x, y) = |y - x|.$

Ogólnie, w przestrzeni $\mathbb R^n$ metrykę euklidesową definiuje się wzorem

$d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2},$

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

$d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{\langle \mathbf y - \mathbf x, \mathbf y - \mathbf x \rangle},$

Metryka „miasto”

Zielona przekątna — odległość względem metryki euklidesowej ($\scriptstyle{6\sqrt{2}}$, tj. ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe — odległość względem metryki miejskiej (12 j.)

Metryka Manhattan, taksówkowa, miejska, wielkomiejska – odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

W przestrzeni $\mathbb R^n$ metryka ta dana jest wzorem

$d_m(\mathbf x, \mathbf y) = \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|.$

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska. W szczególności, jeśli $n = 2$, to

$d_m(\mathbf x, \mathbf y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|.$

Metryka maksimum

Metryka nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachowa – metryka opisana wzorem

$d_\infty(\mathbf x, \mathbf y) = \max_{k=1, \dots, n}~|x_k - y_k|.$

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Metryka kolejowa

Metryka kolejowa, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu $\mathbf 0 = (0, 0)$ lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt $\mathbf 0$ – zwykła euklidesowa odległość.

Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

Można ją przedstawić jako

$d_k(\mathbf x, \mathbf y) = \begin{cases} d_e(\mathbf x, \mathbf y), & \mbox{gdy }\mathbf x, \mathbf y\mbox{ i }\mathbf 0 \mbox{ na jednej prostej;} \\ d_e(\mathbf x, \mathbf 0) + d_e(\mathbf 0, \mathbf y), & \mbox{w przeciwnym przypadku.} \end{cases}$

Metryka „rzeka”

Odległość w metryce rzeka.

Niech pod słowem „rzeka” kryje się ustalona prosta na płaszczyźnie (zazwyczaj $y = 0$). Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się można jedynie w kierunkach prostopadłych do rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę metryki rzeki.

Niżej znajduje się wzór opisujący tę metrykę (por. rysunek)

$d_r(A, B) = \begin{cases} d_e(A, B), & \mbox{gdy A, B na prostej ortogonalnej do rzeki;} \\ d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B), & \mbox{w przeciwnym wypadku.} \end{cases}$

Metryka dyskretna

Metryka dyskretna, zerojedynkowa – metryka na dowolnym zbiorze. Odległość między dowolnymi punktami wynosi $0$, gdy są to te same punkty oraz $1$ w innym przypadku. Przestrzeń metryczną z tą metryką nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną:

$d_d(a, b) = \begin{cases} 0, & \mbox{gdy } a = b; \\ 1, & \mbox{gdy } a \ne b. \end{cases}$

Podsumowanie

Dla $n=1$ metryki iniektywna, euklidesowa i Manhattan pokrywają się. Jeżeli $n=2$, to metryki iniektywna i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Topologia przestrzeni metrycznych

Każda przestrzeń metryczna $X$ jest zarazem przestrzenią topologiczną. Bazę jej topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

$B(x, r) = \{y \in X\colon d(x,y) < r\},$

gdzie $x\in X$ oraz $r>0$. Innymi słowy, zbiór $U \subseteq X$ jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem $x \in U$ zawiera także pewną kulę otwartą $B(x, r)$, której środkiem jest punkt $x$ albo, równoważnie, zbiór $U$ jest otwarty, jeżeli jest przeliczalną sumą kul otwartych. Wyznaczona w ten sposób topologia na zbiorze $X$ jest nazywana topologią indukowaną przez metrykę $d$.

Przestrzeń topologiczna $(X, \tau)$ jest metryzowalna, jeśli istnieje metryka $d$ na zbiorze $X$ taka, że kule otwarte w tej metryce są bazą topologii $\tau$ (tzn. gdy topologia $\tau$ jest generowana przez pewną metrykę $d$).

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych tak, jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych.

Własności

Każda przestrzeń metryczna jest parazwarta, doskonale normalna, Hausdorffa, a ponadto spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Niektóre własności topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

• drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa;
• zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.

W każdej przestrzeni unormowanej $(V, \|\cdot\|)$ można zdefiniować metrykę, wzorem:

$d(x, y) = \|x-y\|$ dla $x, y \in V.$

Dalsze definicje

Odległość od zbioru

Odległością lub odstępem od zbioru $A$ nazywa się funkcję

$\delta_A(x) = \inf \big\{d(x, a)\colon a \in A\big\}.$

Równoważność metryk

Niech $(X, d_1), (X, d_2)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Metryki $d_1, d_2$ są równoważne (topologicznie), jeżeli definiowane przez nie topologie są identyczne, tzn. granice ciągów w obu metrykach są identyczne.

Metryki te są równoważne lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe $c, C > 0$, że dla każdego $x, y \in X$ spełniony jest warunek $c d_1(x, y) \leqslant d_2(x, y) \leqslant C d_1(x, y).$

Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru $X$ jest zbieżny w sensie metryki $d_1,$ to jest także zbieżny w sensie metryki $d_2.$

W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie. Ogólniej, gdy dwie normy Banacha, zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej, są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Niezmienniczość na przesunięcia

Metrykę $d$ nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej $X$ określone jest działanie dodawania $+\colon X \times X \to X$ i dla dowolnych punktów $a, x, y \in X$ zachodzi warunek

$d(x, y) = d(x + a, y + a).$

Uogólnienia

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne zestawy aksjomatów:

• zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym

$d(a, a) = 0$

uzyskuje się tzw. pseudometrykę.

• funkcja $d$, która nie spełnia warunku symetrii, nazywana jest quasi-metryką.
• zastąpienie warunku trójkąta aksjomatem

$d(a, b) \leqslant \max \big\{d(a, c), d(c, b)\big\}$

daje funkcję nazywaną ultrametryką.

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1965. 
• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.

Zobacz też

• metryka probabilistyczna
• przestrzeń topologiczna