Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna – w teorii prawdopodobieństwa struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im w sensowny sposób prawdopodobieństwa; układ $\scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ składający się z niepustego zbioru $\scriptstyle \Omega$ nazywanego przestrzenią zdarzeń elementarnych, określonego na nim σ-ciała $\scriptstyle \mathcal F$ nazywanego przestrzenią zdarzeń losowych oraz określonej na $\scriptstyle \mathcal F$ (dodatniej) miary $\scriptstyle \mathbb P$ spełniającej $\scriptstyle \mathbb P(\Omega) = 1$ ($\scriptstyle \Omega \in \mathcal F$) i nazywanej miarą probabilistyczną bądź prawdopodobieństwem; w teorii miary tego rodzaju miary określa się jako unormowane.

Aksjomaty Kołmogorowa

Powszechnie dziś stosowana definicja prawdopodobieństwa przytoczona we wstępie została sformułowana po raz pierwszy w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa w postaci aksjomatów teorii prawdopodobieństwa, nazywanych też aksjomatami Kołmogorowa; charakteryzują one funkcję $\scriptstyle \mathbb P\colon \mathcal F \to \mathbb R$ o wartościach rzeczywistych określonej na ustalonej przestrzeni mierzalnej $\scriptstyle (\Omega, \mathcal F)$ jako prawdopodobieństwo:

• nieujemność (ograniczenie dolne prawdopodobieństwa),

  $\mathbb P(A) \geqslant 0 \qquad\mbox{ dla dowolnego } A \in \mathcal F;$

• unormowanie (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego),

  $\mathbb P(\Omega) = 1 \qquad (\Omega \in \mathcal F);$

• przeliczalna addytywność (dla przeliczalnej rodziny zbiorów rozłącznych),

  $\mathbb P\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mathbb P(A_i) \quad\mbox{ dla przeliczalnej } \{A_i\}_{i \in I}, \mbox{ gdzie } A_i \cap A_j = \varnothing \mbox{ przy } i \ne j.$

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja $\scriptstyle \mathbb P$ jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną. Przestrzeń mierzalną $\scriptstyle (\Omega, \mathcal F)$ z miarą probabilistyczną $\scriptstyle \mathbb P,$ czyli układ $\scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P),$ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności

Wprost z drugiego aksjomatu wynika, że prawdopodobieństwo jest miarą skończoną; niech $\scriptstyle A, B \in \mathcal F,$ wówczas wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają również następujące własności:

• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego,

  $\mathbb P(\varnothing) = 0 \quad (\varnothing \in \mathcal F);$

• skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych),

  $\mathbb P\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mathbb P(A_i) \quad\mbox{ dla skończonej } \{A_i\}_{i \in I}, \mbox{ gdzie } A_i \cap A_j = \varnothing \mbox{ przy } i \ne j;$

• wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego,

  $\mathbb P(A^\mathrm c) = 1 - \mathbb P(A);$

• ograniczenie górne prawdopodobieństwa,

  $\mathbb P(A) \leqslant 1;$

• monotoniczność,

  $\mathbb P(A)\leqslant \mathbb P(B) \quad\mbox{ dla } A \subseteq B;$

• wzór na prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń),

  $\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - \mathbb P(A \cap B).$

Przykłady

Jeśli $\scriptstyle \Omega$ jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że $\scriptstyle \mathcal F$ jest rodziną wszystkich podzbiorów $\scriptstyle \mathcal P(\Omega)$ zbioru $\scriptstyle \Omega,$ a funkcja $\scriptstyle \mathbb P$ dana jest wzorem

$\mathbb P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} \quad\mbox{ dla każdego } A \in \mathcal F, \mbox{ tzn. } A \subseteq \Omega,$

gdzie $\scriptstyle \#C$ oznacza moc zbioru $\scriptstyle C;$ przestrzeni probabilistycznej $(\scriptstyle \Omega, \mathcal P(\Omega), \mathbb P\displaystyle)$ odpowiada tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Jeśli $\scriptstyle \Omega$ jest przedziałem jednostkowym $\scriptstyle [0, 1],$ a rodzina $\scriptstyle \mathcal F$ jest σ-ciałem $\scriptstyle \mathfrak L_{[0, 1]}$ mierzalnych w sensie Lebesgue'a podzbiorów tego przedziału, zaś $\scriptstyle \mathbb P$ jest miarą Lebesgue'a $\scriptstyle \lambda$ określoną na tym σ-ciele, to przestrzeń probabilistyczna $(\scriptstyle [0, 1], \mathfrak L_{[0, 1]}, \lambda\displaystyle)$ realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa – w ogólności modelem geometrycznym danego doświadczenia jest σ-ciało podzbiorów mierzalnych ustalonego zbioru skończonej miary pełniącego rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych; prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary danego podzbioru przez miarę przestrzeni.

Niech $\scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), a $\scriptstyle X\colon \Omega \to \mathbb R$ będzie zmienną losową (tzn. rzeczywistą funkcją mierzalną). Jeżeli $\scriptstyle \mathbb P_X$ jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) $\scriptstyle X,$ tj.

$\mathbb P_X(A) = \mathbb P\bigl(X^{-1}(A)\bigr) \ \overset\underset\mathrm{ozn}\ =\ \mathbb P(X \in A) \quad\mbox{ dla dowolnego } A \in \mathfrak B_\mathbb R,$

gdzie $\scriptstyle \mathfrak B_\mathbb R$ oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na $\scriptstyle \mathbb R,$ to $\scriptstyle \mathbb P_X$ jest miarą probabilistyczną, wobec czego $\scriptstyle (\mathbb R, \mathfrak B_\mathbb R, \mathbb P_X)$ również jest przestrzenią probabilistyczną.

Oprócz wymienionych wyżej do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też

• definicje prawdopodobieństwa
• przestrzeń statystyczna

Bibliografia

• Krysicki, Bartos, Dyczka, Królikowska, Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.