Miara regularna

Miara regularna – w matematyce miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.

Definicja

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $\mathfrak M$ oznacza σ-algebrę określoną na $X,$ która zawiera topologię $\tau$ (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domknięte są mierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech $\mu$ będzie miarą na $(X, \mathfrak M).$ Podzbiór mierzalny $A$ przestrzeni $X$ jest $\mu$-regularny, jeśli

$\mu(A) = \sup\{\mu(F)\colon F \subseteq A, F \mbox{ - domkniety}\}$

oraz

$\mu(A) = \inf\{\mu(G)\colon G \supseteq A, G \mbox{ - otwarty}\}.$

Równoważnie $A$ jest zbiorem $\mu$-regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\delta > 0$ istnieją zbiory domknięty $F$ i otwarty $G$ takie, że

$F \subseteq A \subseteq G$

przy czym

$\mu(G \setminus F) < \delta.$

Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę $\mu$ nazywa się regularną.

Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór $F$ był zwarty (a nie tylko domknięty).

Przykłady

• Zgodnie z twierdzeniem o regularności miary Lebesgue'a: miara Lebesgue'a na prostej rzeczywistej jest miarą regularną.
• Dowolna borelowska miara prawdopodobieństwa na przestrzeni metrycznej jest regularna.
• Miara trywialna, która przypisuje zero dowolnemu zbiorowi mierzalnemu jest regularna.
• Trywialnym przykładem miary nieregularnej na prostej rzeczywistej z jej standardową topologią jest miara $\mu$ taka, że

$\mu(\varnothing) = 0,$

$\mu\bigl(\{1\}\bigr) = 0$

oraz $\mu(A) = \infty$ dla jakiegokolwiek innego zbioru $A.$

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. 
• Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005. MR2169627. ISBN 0-8218-3889-X.  (zob. rozdział 2)
• Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability. Chapman & Hall, 1989. 

Zobacz też

• miara borelowsko regularna,
• miara wewnętrznie regularna,
• miara zewnętrznie regularna.