Miara wektorowa

Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja

Jeśli $\mathcal{F}$ jest ciałem zbiorów oraz $E$ przestrzenią unormowaną, to funkcję $\nu\colon \mathcal{F}\to E$, spełniającą warunek

$\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)$

dla wszelkich rozłącznych zbiorów $A,B\in\mathcal{F}$, nazywamy miarą wektorową.

Jeśli $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$, to funkcję $\nu\colon \mathfrak{M}\to E$ nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $\mathfrak{M}$ spełniony jest warunek:

$\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$

Wahanie i półwahanie

Jeżeli $\nu\colon \mathcal{F}\to E$ jest miarą wektorową, to funkcję $|\nu |\colon \mathcal{F}\to [0,\infty]$ określoną wzorem

$|\nu|(A)=\sup\{\sum_{P\in \Pi}\|\nu(P)\|\colon \Pi\}$, gdzie $\Pi\subset\mathcal{F}$ jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że $\bigcup\Pi=A$.

nazywamy wahaniem miary wektorowej $\nu$.

Funkcję $\|\nu \|\colon \mathcal{F}\to [0,\infty]$, określoną wzorem

$\|\nu\|(A)=\sup\{|x^\star\circ \nu |(A)\colon x^\star \in E^\star, \|x^\star \|\leqslant 1\}$

nazywamy półwahaniem miary wektorowej $\nu$.

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności

• Jeżeli $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$, a $\nu\colon \mathfrak{M}\to\mathbb{R}$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to

$|\nu|=\|\nu\|=\nu^++\nu^-$, gdzie $\nu^+,\nu^-$, to odpowiednio wahanie górne i dolne.

• Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
• Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
• Jeżeli $\nu$ jest miarą wektorową, to $\|\nu\|\leqslant |\nu|$.
• Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
• Niech $\mathfrak{M}=\sigma(\mathcal{F})$ (σ-ciało generowane przez ciało $\mathcal{F}$; porównaj: definicję). Jeśli $\nu\colon \mathfrak{M}\to E$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego $A\in\mathcal{F}$ zachodzi równość: $|\nu|_{\mathcal{F}}|(A)=|\nu|(A)$.
• Jeżeli wahanie miary wektorowej $\nu$ jest miarą skończoną, to $\nu$ jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
• Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
• Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech $T\colon L_{\infty}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue'a) podzbioru $A\subset [0,1]$ określmy odwzorowanie

$\nu(A)=T(\chi_A)$, gdzie $\chi_A$ jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech $T\colon L_{1}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja $\nu$ dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego $A\subset [0,1]$

$\|\nu(A)\|\leqslant l(A)\|T\|$, gdzie $l$ jest miarą Lebesgue'a.

Wówczas, także $\|\nu\|(A)\leqslant l(A)\|T\|$, co dowodzi, że $\nu$ jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech $\mathcal{L}|_{[0,1]}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $[0,1]$ mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Funkcja $\nu\colon \mathcal{L}|_{[0,1]}\to L_{\infty}[0,1]$ dana wzorem

$\nu(A)=\chi_A$, dla $A\in \mathcal{L}|_{[0,1]}$ jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech $\mathcal{F}=\{A\subseteq \mathbb{N}\colon |A|<\aleph_0 \vee |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\}$. Funkcja $\nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{R}$ dana wzorem

$\nu(A)=\left\{\begin{array}{ll}|A|,& |A|<\aleph_0\\-|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\end{array}\right.$ jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności Czytelnik znajdzie w .

Zobacz też

• wektor