Miara zespolona

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja

Jeśli $\mathcal{F}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$, to funkcję $\nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{C}$, spełniającą warunek

$\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$

dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $\mathfrak{M}$, nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa

Jeżeli $\nu\colon \mathcal{F} \to \mathbb{C}$ jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru $M$, to istnieje wówczas funkcja mierzalna $h$ taka, że $|h(x)|=1$ dla $x\in M$ oraz $d\nu=hd|\nu|$, gdzie $|\nu|$ oznacza wahanie miary zespolonej $\nu$.

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym $1$, równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary $\nu$.

Bibliografia

1. Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 83-01-05124-8