Minimum i maksimum (funkcje)

Minimum i maksimum – inaczej odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru uporządkowanego. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Zbiory liczbowe

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla $x, y \in \mathbb{R}$ funkcje te dane są wzorami:

$\min(x, y) = \begin{cases} y, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ x, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}$

$\max(x, y) = \begin{cases} x, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ y, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}$

Okazuje się, że funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

$\min(x, y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}$

$\max(x, y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}$.

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum:

$|x| = \max(-x, x)\;$.

Ponadto,

$\max(x, y) = x + y - \min(x, y)\;$

$\min(x, y) = x + y - \max(x, y)\;$.

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

$\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z) = \max(x, \max(y, z))\;$.

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

$\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z)\;$

$\max(x, y, z, u) = \max(\max(x, y, z), u) = \max(\max(x, y), \max(z, u))\;$ itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją $\min$. Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje $\max, \min$ definiuje się jako funkcje zbiorów skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

$\max A, \min \{1, 3, 6\}\;$.

Definicja ogólna

Dla dowolnego zbioru $P$ z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

$\min(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \leqslant p$

$\max(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \geqslant p$

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte $(a, b)$ nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

$\min(P) = \inf(P)$

$\max(P) = \sup(P)$

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p \to -\infty$.

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p$ dla $p \to +\infty$.

Działania

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też

• ekstremum
• kres dolny i górny
• Arg max