Minor

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład

Niech dana będzie macierz

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$

typu $3 \times 4$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru $I = \{1, 3\}$ oraz kolumn o indeksach ze zbioru $J = \{1,4\}$ otrzymuje się minor równy

$\begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10$.

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ $I \ne J$. Minorem głównym macierzy $A$ jest na przykład minor

$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8$

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach $2$ oraz $3$.

Wiodącymi minorami głównymi macierzy $A$ po kolei rosnącym porządku stopni:

$\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55$.

Definicja

Dla danej macierzy $A$ typu $m \times n$ minorem stopnia $k$, gdzie $k \leqslant \min(m, n)$ nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia $k$ otrzymanej z macierzy $A$ poprzez wykreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów $I$ wierszy o długości $k$ oraz podciągu indeksów $J$ kolumn o długości $k$ z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego $\{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}$. Tak wybrany zbiór indeksów $I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\}$ służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy $A(I \times J)$.

Jeżeli $I = J$ mają po $k$ elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich $k$ w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia $k$. Minor główny stopnia $k$, z którego wykreślono ostatnie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn, a więc tak, by $I = J = \{1, 2, \dots, k\}$, nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia $k$.

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Własności

• Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie $1, 1$.
• Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu $r > 0$ nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia $r$, zaś każdy minor stopnia wyższego od $r$ tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) $A$ jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Dla danej macierzy $m \times n$ można wybrać $\tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k}$ minorów stopnia $k$ (gdzie $\tbinom{\cdot}{\cdot}$ oznacza symbol Newtona).
• Macierz typu $m \times n$ ma $\min(m, n)$ wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia $n$ ma ich dokładnie $n$.

Zobacz też

• rozwinięcie Laplace'a
• dopełnienie algebraiczne