Monoid

Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra $(S, e, *)$, sygnatury $(0, 2)$, gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiast

$*\colon S \times S \to S$

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

1. $\forall_{a \in S}\; e *a = a *e = a$       (e jest elementem neutralnym),
2. $\forall_{a, b, c \in S}\; \left(a * b\right) * c = a *\left(b * c\right)$       (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

klasa półgrup ⊇ klasa monoidów ⊇ klasa grup.

Każdy monoid M jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry M. Jest to uogólnienie twierdzenia Cayley'a.

Przykłady

• Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
• Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
• Monoid wolny. $\left(X^*, \varepsilon, \sim\right)$ - zbiór słów nad alfabetem $\,X\,$, z $\varepsilon$ jako słowem pustym i $\,\sim\,$ jako operacją konkatenacji. Jeśli $X \,=\, \{0, 1\}$, to słowami są na przykład: $110111,\,011000,\,000,\, 1111$, a przykładami konkatenacji są:

$110111\,\sim\,000\,=\, 110111000$,

$\varepsilon\,\sim\,000\,=\,000$.

• Własność uniwersalności monoidu wolnego. Po utożsamieniu elementów zbioru X ze słowami jednoelementowymi można uznać X za podzbiór monoidu wolnego X*

Uniwersalność monoidu wolnego

$i: a \mapsto a$,

przy czym podzbiór ten generuje X* i odwzorowanie

$i: X \rightarrow X^*$

ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru X w monoid M

$\alpha: X \rightarrow M$

istnieje jedyny taki homomorfizm

$\alpha^* : X^* \rightarrow {M}$

dla którego następujący diagram jest przemienny.

• Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru M w zbiór M wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na M. Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.
• Jeśli $\,\mathit{M}\,$ jest monoidem, $\,\mathit{A}\,$ jest półgrupą, a $h: \mathit{M} \rightarrow \mathit{A}$ jest homomorfizmem na $\,\mathit{A}\,$, to $\,\mathit{A}\,$ jest monoidem.

Bibliografia

1. A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964. 
2. Milne J. S.: [www.jmilne.org Group Theory]. [dostęp 2011-08-23].
3. Скорняков Л. А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.