Nierówność Jensena

Nierówność Jensena mówi, że jeżeli $f$ jest funkcją wypukłą w przedziale $P\subset\mathbb R$, to wartość tej funkcji na kombinacji wypukłej elementów przedziału $P$ nie przekracza kombinacji wypukłej wartości funkcji w tych punktach (przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki).

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb $a_1,a_2,\ldots,a_n\in [0,1]$, nazywanych wagami, spełniających warunek:

$a_1+a_2+\ldots+a_n=1,$

oraz dowolnych liczb

$x_1,x_2,\ldots, x_n\in P$

(gdzie $P\subseteq \mathbb R$ jest przedziałem) i dowolnej funkcji $f$ wypukłej w $P$, prawdziwa jest nierówność:

$f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}a_if(x_i),$

którą nazywa się nierównością Jensena. Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód

Dowód indukcyjny (po $n$).

Dla $n=1$ nierówność jest oczywista. Dla $n=2$ uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech $n \geqslant 2$. Założenie indukcyjne jest następujące:

$f\left(\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n} a_if(x_i)$

gdzie $x_i$ należą do przedziału $P$ oraz $a_1+a_2+\ldots +a_n=1 .$

Teza indukcyjna to:

$f\left(\sum_{i=1}^{n+1} b_i x_i \right) \leqslant \sum_{i=1}^{n+1} b_i f(x_i) .$

gdzie $x_i$ należą do przedziału $P$ oraz $b_1+b_2+\ldots+b_{n+1}=1$.

Niech $x_i \in P$ oraz $b_1+b_2+\ldots+b_{n+1}=1 .$ Bez straty ogólności można założyć, że $b_{n+1} \not= 0 .$ Wówczas:

$f\left(\sum_{i=1}^{n+1} b_i x_i \right) = f \left( b_1 x_1 + \dots + b_{n+1} x_{n+1} \right) =$

$= f \left( b_1 x_1 + \dots + b_{n-1} x_{n-1} + (b_n + b_{n+1}) (\tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} x_n + \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} x_{n+1}) \right) \leqslant$

Korzystając z założenia indukcyjnego:

$\leqslant b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + (b_n + b_{n+1}) f(\tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} x_n + \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} x_{n+1}) \leqslant$

Z definicji funkcji wypukłej:

$\leqslant b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + (b_n + b_{n+1}) \tfrac{b_n}{b_n + b_{n+1}} f(x_n) + (b_n + b_{n+1}) \tfrac{b_{n+1}}{b_n + b_{n+1}} f(x_{n+1}) =$

$b_1 f(x_1) + \dots + b_{n-1} f(x_{n-1}) + b_n f(x_n) + b_{n+1} f(x_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} b_i f(x_i)$

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy $f$ jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że $-f$ jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

$(-f)\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}a_i(-f)(x_i),$

co jest równoważne nierówności

$f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\geqslant \sum^n_{i=1}a_if(x_i) .$

Uwagi

• W szczególności dla $a_1=a_2=\ldots =a_n=1/n$ nierówność przyjmuje postać:

  $f\left(\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}\right)\leqslant \frac{\sum^n_{i=1}f(x_i)}{n} .$

• Korzystając z nierówności Jensena można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność o średnich arytmetycznej i geometrycznej. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa

Niech $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ będzie funkcją wypukłą, $X\$ będzie zmienną losową, oraz $f,\ f(X)$ będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

• $f\big (\mathbb E(X)\big ) \leq \mathbb E\big (f(X)\big )$

Jeżeli ponadto $\mathcal G$ jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

• $f\big (\mathbb E(X|\mathcal G)\big ) \leq \mathbb E\big (f(X)\big |\mathcal G\big )$

Zobacz też

• równanie funkcyjne Jensena
• nierówność

Bibliografia

• G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 263. ISBN 83-01-02175-6.