Nierówność Markowa

Nierówność Markowa jest nierównością używaną w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $\,X$ o wartości oczekiwanej $\,E(X)$ i dla każdego $\, \varepsilon > 0$ oraz $\,p > 0$:

$P\left(\left|X\right| \geqslant \varepsilon\right)\leqslant \frac{E(\left|X\right|^p)}{\varepsilon^p}$

Dowód

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa $\,{\left|{X}\right|}^p$ zamiast $\,X$ oraz $\, {\varepsilon}^p$ zamiast $\, \varepsilon$, której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej haśle.

Jest tak ponieważ $\, {\left|{X}\right|}^p \geqslant {\varepsilon}^p \iff X \geqslant \varepsilon$ (w założeniach Nierówności Czebyszewa było $\, X \geqslant 0$, oraz $\, p>0$)

Zobacz też

• Nierówność Czebyszewa
• Nierówność Czebyszewa-Bienayme
• Wykładnicza nierówność Czebyszewa