Nierówność Paleya-Zygmunda

Nierówność Paleya-Zygmunda dostarcza oszacowania w terminach wartości oczekiwanej i wariancji na wielkość prawdopodobieństwa, że nieujemna zmienna losowa o skończonej wariancji jest mała. Nierówność ta została udowodniona przez Raymonda Paleya i Antoniego Zygmunda.

Twierdzenie

Niech $Z\!$ będzie nieujemną zmienną losową o skończonej wariancji i niech $\lambda\in(0,1)$. Wówczas prawdziwa jest nierówność

$\mathbb P(Z\geqslant\lambda\mathbb EZ)\geqslant (1-\lambda)^2\frac{(\mathbb EZ)^2}{\mathbb EZ^2}$

Dowód

Korzystając z nierówności Höldera dostajemy $(\mathbb EZ^2)^{\frac{1}{2}}(\mathbb P(Z\geqslant\lambda\mathbb EZ))^{\frac{1}{2}}\geqslant\mathbb EZ\mathbb I_{\{Z\geqslant\lambda\mathbb EZ\}}$.

A zatem $(\mathbb EZ^2)^{\frac{1}{2}}(\mathbb P(Z\geqslant\lambda\mathbb EZ))^{\frac{1}{2}}\geqslant\mathbb EZ\mathbb I_{\{Z\geqslant\lambda\mathbb EZ\}}=\mathbb EZ-\mathbb EZ\mathbb I_{\{Z<\lambda\mathbb EZ\}}\geqslant (1-\lambda)\mathbb EZ$.

Podnosząc obie strony nierówności do kwadratu dostajemy tezę.

Bibliografia

• Skrypt do rachunku prawdopodobieństwa