Nierówność między średnimi potęgowymi

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność o średniej uogólnionej) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy'ego, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

Definicja i twierdzenie

Średnia potęgowa rzędu $p\;$ liczb $x_1, x_2,\ldots, x_n$ to

• $\mu_p(x_1, x_2,\ldots ,x_n)=\left(\frac{x^p_1+x^p_2+\dots+x^p_n}{n}\right)^{1/p}$ dla $p\in {\mathbb R}\setminus\{0\},$
• $\mu_0(x_1, x_2,\ldots ,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n},$
• $\mu_{-\infty}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \min(x_1, x_2, \dots, x_n),$
• $\mu_{+\infty}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \max(x_1, x_2, \dots, x_n).$

Twierdzenie

Niech $-\infty\leqslant p<q\leqslant +\infty$ i niech dane będzie $n\;$ liczb $x_1, x_2,\dots, x_n>0$ (jeśli ograniczamy się do rzędów $p,q>0,\;$ można przyjąć $x_1, x_2,\ldots, x_n\geqslant 0\;$). Wówczas średnia potęgowa rzędu $p\;$ liczb $x_1, x_2,\ldots, x_n$ jest nie większa od ich średniej uogólnionej rzędu $q\;$, czyli

$\mu_p(x_{1},\ldots,x_{n}) \leqslant \mu_q(x_{1},\dots,x_n)$.

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $x_1, x_2,\ldots, x_n$ są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich $x_1,x_2,\dots,x_n$ funkcja

$\mathbb{R}\ni t\mapsto \mu_t(x_1, x_2,\ldots ,x_n)\in\mathbb{R}$

jest funkcją niemalejącą. Można pokazać wręcz, że jest stała lub ściśle rosnąca.

Przykład

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli $a,b,c>0\;$ oraz $a^3+b^3+c^3=81\;$, to $a+b+c\leqslant 9\;$.

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

$\frac{a+b+c}{3}\leqslant \left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}=3$,

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

Dowód

Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi w_i spełniają warunki:

$w_i\in (0;1]$

$\sum_{i=1}^nw_i=1$

Średnia geometryczna

Dla dowolnego $q\;$ nierówność między średnią rzędu $q\;$ i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leqslant \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

$\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leqslant \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla $q>0\;$, druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi $q\;$:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leqslant \sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu $x_i^q,$ którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

$\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leqslant \log \sum_{i=1}^nw_ix_i$

$\log \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leqslant \log \sum_{i=1}^nw_ix_i$

Po nałożeniu obustronnie rosnącej funkcji exp uzyskujemy żądaną nierówność:

$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leqslant \sum_{i=1}^nw_ix_i$

Stąd dla dowolnego dodatniego $q\;$ zachodzi:

$\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leqslant \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leqslant \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową, a średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jako granica

Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:

$\lim_{p\to0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)$

Łatwo sprawdzić, że granice licznika i mianownika są równe 0, więc korzystamy z reguły de l'Hospitala:

$\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'=$

$=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)$

Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} exp\left(\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=exp\left(\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=exp\left(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\right)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}$

co kończy dowód.

Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych $p<q\;$ zachodzi:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leqslant \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

w przypadku kiedy $p\;$ jest ujemne, a $q\;$ dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leqslant \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leqslant\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich $p\;$ i $q\;$: Weźmy funkcję $f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},$ $f(x)=x^{\frac{q}{p}}$. Oczywiście f jest rosnąca, bo $q\;$/$p\;$ jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: $f''(x)=(\frac{q}{p})(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2},$ która jest zawsze dodatnia, bo $q\;$ > $p,\;$ z czego wynika wypukłość $f\;$.

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

$f\left( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right) \leqslant\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)$

$\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leqslant\sum_{i=1}^nw_ix_i^q$

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka $q\;$-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo $q\;$ > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich $p\;$ i $q\;$:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leqslant\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}$

Jeśli rozważamy rzędy $p,q\;$ ujemne, wówczas $x_i>0\;$, więc można podstawiając $x_i:=\tfrac{1}{x_i}$ bez straty ogólności uzyskać:

$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leqslant \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}$

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

$\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geqslant \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}$

A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych $p\;$ i $q\;$ co kończy dowód.

Minimum i maksimum

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów $\pm \infty$. Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest nastepujący:

Niech x₁ będzie największym, a x_n najmniejszym z x_i. Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:

$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=0$

Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich p:

$\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\right) \leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)$

$\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\right)=\ln(1)=0$

Następnie korzystając z udowodnionej granicy:

$\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\left(\ln(x_1^p)+\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=$

$=\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\right)+\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1)$

Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\left(\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=\exp\left(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_1$

Analogicznie dla ujemnych p:

$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)\right)=0$

bo (wciąż dla p<0):

$\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\right) \geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)$

$\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0$

Stąd:

$\lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\right)+\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\right)=\ln(x_n)$

I w końcu analogicznie:

$\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\left(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_n$

Zobacz też

• nierówność Cauchy'ego o średnich
• nierówność Muirheada