Nierówność o ciągach jednomonotonicznych

Nierówność o ciągach jednomonotonicznych to jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówność Cauchy'ego o średnich, nierówność Cauchy'ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

Twierdzenie

Gdy mamy dane dwa ciągi: $(a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n)$ oraz $(b_1, b_2, b_3, b_4,\ldots, b_n)$ liczb rzeczywistych takie że dla każdej pary naturalnych i i j nie większych niż n, takich że i jest mniejsze niż j, zachodzą nierówności:

$\left \{ {{a_i\geqslant a_j} \atop {b_i\geqslant b_j}} \right.$

lub

$\left \{ {{a_i\leqslant a_j} \atop {b_i\leqslant b_j}} \right.$

czyli innymi słowy oba ciągi są tej samej monotoniczności, to ciągi takie nazywamy jednomonotonicznymi i prawdziwe są nierówności:

$a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \geqslant a_1b'_1+a_2b'_2+\ldots+a_nb'_n~\geqslant a_1b_n+a_2b_{n-1}+\ldots+a_nb_1$

gdzie $(b'_1, b'_2, b'_3, b'_4,\ldots, b'_n)$ jest dowolną permutacją ciągu $(b_1, b_2, b_3, b_4,\ldots, b_n)$.

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

Dowód

Dowód twierdzenia korzysta z zasady indukcji matematycznej.

Twierdzenie jest niewątpliwie prawdziwe dla n=1, ponieważ jest tylko jedna permutacja ciągu jednoelementowego, wobec czego:

$b_1=b'_1\Leftrightarrow a_1b_1=a_1b'_1\Rightarrow a_1b_1 \geqslant a_1b'_1$

Udowodnijmy zatem że dla dowolnego naturalnego n i dwóch ciągów rzeczywistych $(a_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}}$, $(b_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}}$ spełniających założenia prawdziwym jest, że jeśli zachodzi:

$a_1b_1+...+a_nb_n~\geqslant~a_1b'_1+a_2b'_2+...+a_nb'_n~\geqslant~a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1$

to zachodzi również:

$a_1b_1+...+a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1}~\geqslant~a_1b''_1+a_2b''_2+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}$

(gdzie $(b'_i)_{i\in {N_{\leqslant n}}}$ jest permutacją $(b_i)_{i\in {N_{\leqslant n}}}$, a $(b''_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}}$ permutacją $(b_i)_{i\in {N_{\leqslant n+1}}}$)

Dla $b''_{n+1}=b_{n+1}\;$ jest to oczywiste, ponieważ można ją uzyskać poprzez obustronne dodanie wyrażenia $a_{n+1}b_{n+1}\;$ w tezie indukcyjnej.

W przeciwnym wypadku istnieją takie naturalne i i j nie większe niż n, że dla pewnych permutacji:

$a_1b'_1+...+a_nb'_n+a_{n+1}b_{n+1}=a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}-(a_ib_{n+1}+a_{n+1}b_j)+(a_ib_j+a_{n+1}b_{n+1})\;$

a zgodnie z założeniami

$a_i\geqslant a_{n+1}$

$b'_i=b_j\geqslant b_{n+1}$

więc:

$(a_i-a_{n+1})(b_j-b_{n+1})=-(a_ib_{n+1}+a_{n+1}b_j)+(a_ib_j+a_{n+1}b_{n+1})\geqslant 0$

z czego

$a_1b'_1+...+a_nb'_n+a_{n+1}b_{n+1}\geqslant a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}$

więc oczywiście

$a_1b_1+...+a_nb_n+a_{n+1}b_{n+1}\geqslant a_1b''_1+...+a_nb''_n+a_{n+1}b''_{n+1}$

Co kończy dowód, ponieważ dla każdej permutacji $''$ możemy znaleźć odpowiednią permutację $'\;$, która będzie się od niej różniła co najwyżej jednym elementem.