Nieskończenie małe

Nieskończenie małe – określenie wielkości, która w danym przejściu granicznym dąży do zera.

Definicja

Niech x₀ oznacza liczbę rzeczywistą lub ±∞. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie małą przy x dążącym do x₀ jeżeli jej granica przy x dążącym do x₀ jest równa 0:

$\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$

Uwagi

1. Pojęcie "nieskończenie małej" jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że granica funkcji jest równa 0.
2. Jeżeli g(x) jest nieskończenie wielką, to 1/g(x) jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

Rząd nieskończenie małej

Nieskończenie mała f(x) przy x dążącym do x₀ ma rząd k jeżeli

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x - x_0)^k} = a \ne 0$ gdy $x_0$ jest liczbą

$\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot x^k = a \ne 0$ gdy $x_0=\pm\infty$

Nieskończenie małe równoważne

Dwie nieskończenie małe f(x) i g(x) są równoważne jeżeli:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Relacja "równoważności" nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie małe równoważne trzeciej są też sobie równoważne.

Przykłady

• sin x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Jest to nieskończenie mała rzędu 1, bo:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

Równość ta oznacza jednocześnie, że nieskończenie małe sin x i x w punkcie 0 są równoważne.

• cos x jest nieskończenie małą w punkcie π/2

Jest to znów nieskończenie mała rzędu 1, bo:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=-1$

Zatem nieskończenie małe cos x i π/2 - x są w punkcie π/2 równoważne.

• tg x jest nieskończenie małą w punkcie 0

Z równości:

$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}\,x}{x}=1$

wynika, że jest to nieskończenie mała rzędu 1. Jest ona równoważna nieskończenie małej sin x w punkcie 0.

• x³ jest w punkcie 0 nieskończenie małą rzędu 3
• 1 - cos x jest nieskończenie małą rzędu 2 w punkcie 0, bo:

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

• e^x - 1 jest nieskończenie małą rzędu 1 w punkcie 0, bo:

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Zastosowania

Nieskończenie małe równoważne można wzajemnie zastępować w danych przejściach granicznych. Przykład:

$\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(e^x-1)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Zobacz też

• nieskończenie wielkie
• "o" małe