Nieskończenie wielkie

Nieskończenie wielkie – określenie wielkości, które w danym przejściu granicznym dążą do nieskończoności.

Definicja

Niech x₀ oznacza liczbę rzeczywistą lub ±∞. Funkcję f(x) nazywamy nieskończenie wielką przy x dążącym do x₀ jeżeli jej granica przy x dążącym do x₀ jest niewłaściwa:

$\lim_{x\to x_0} f(x) = \pm\infty$

Uwagi

1. Pojęcie "nieskończenie wielkiej" jest tylko wygodnym i intuicyjnym sposobem wyrażania faktu, że funkcja ma granicę niewłaściwą.
2. Jeżeli g(x) jest nieskończenie wielką w punkcie x₀, to 1/g(x) jest nieskończenie małą, lecz nie na odwrót.

Rząd nieskończenie wielkiej

Nieskończenie wielka f(x) przy x dążącym do x₀ ma rząd k jeżeli

$\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot{(x - x_0)^k} = a \ne 0$ gdy $x_0$ jest liczbą

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x^k} = a \ne 0$ gdy $x_0=\pm\infty$

Nieskończenie wielkie równoważne

Dwie nieskończenie wielkie f(x) i g(x) są równoważne jeżeli:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Relacja "równoważności" nieskończenie wielkich jest rzeczywiście relacją równoważności – w szczególności, dwie nieskończenie wielkie równoważne trzeciej są też sobie równoważne.

Zobacz też

• nieskończenie małe
• "o" małe