Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa

Wielowskaźnik $n$-wymiarowy to wektor

$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników $\alpha, \beta \in \mathbb N^n_0$ oraz $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n$ określa się:

• sumę i różnicę po współrzędnych

  $\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$

• porządek częściowy

  $\alpha \leqslant \beta \iff \alpha_i \leqslant \beta_i \quad \forall_{i \in \{1, \ldots, n\}}$

• sumę współrzędnych (wartość bezwzględną)

  $|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$

• silnię

  $\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$

• symbol Newtona

  ${\alpha \choose \beta} = {\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n}$

• potęgę

  $x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$

• pochodną cząstkową wyższych rzędów

  $\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}$, gdzie $\partial_i^{\alpha_i} := \tfrac{\part^{\alpha_i}}{\part x_i^{\alpha_i}}$

Niektóre zastosowania

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie

$\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}~\frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha$

Wzór Leibniza

Dla funkcji gładkich $f$ i $g$

$\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \leqslant \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g$.

Szereg Taylora

Dla funkcji analitycznej $f$ o $n$ zmiennych jest

$f(x+h) = \sum_{\alpha \in \mathbb N^n_0}{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha}$.

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

$f(x+h) = \sum_{|\alpha| \leqslant n}~{\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha !}h^\alpha} + R_n(x, h)$,

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy'ego (z resztą całkową) otrzymuje się

$R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| = n+1}~\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int\limits_0^1~{(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt}$.

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci

Operator różniczki cząstkowej $n$-tego rzędu $n$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

$P(\partial) = \sum_{|\alpha| \leqslant N}~{a_\alpha(x)\partial^\alpha}$.

Całkowanie przez części

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie $\Omega \subset \mathbb R^n$ jest

$\int\limits_\Omega~{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega~{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}$.

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie

Jeżeli $\alpha, \beta \in \mathbb N^n_0$ są wielowskaźnikami, a $x=(x_1, \ldots, x_n)$, to

$\part^\alpha x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha \leqslant \beta,\\ 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}$

Dowód

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli $\alpha, \beta \in \{0, 1, 2, \ldots\}$, wtedy

$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha}, & \hbox{gdy}\,\, \alpha\leqslant \beta, \\ 0 & \hbox{w p.p.} \end{cases}\qquad(1)$

Załóżmy, że $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$, $\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)$, and $x=(x_1,\ldots, x_n)$. Wtedy

$\begin{align}\part^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{|\alpha|}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n} \\ &= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}$

Dla każdego $i \in \{1, \ldots, n\}$, funkcja $x_i^{\beta_i}$ zależy wyłącznie od $x_i$. Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe $\tfrac{\part}{\part x_i}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego $\tfrac{d}{dx_i}$. Stąd z równania (1) wynika, że $\part^\alpha x^\beta$ znika, jeśli $\alpha_i > \beta_i$ dla przynajmniej jednego $i \in \{1, \ldots, n\}$. W przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\alpha \leqslant \beta$ jako wielowskaźniki, wtedy

$\frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}$

dla każdego $i$, skąd wynika twierdzenie. $\Box$

Bibliografia

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9