Obiekt (teoria kategorii)

Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria. Każda kategoria składa się z elementów dwóch klas nazywanych klasą obiektów i klasą morfizmów. Klasę obiektów kategorii $\mathfrak{A}$ oznacza się przez $\mathrm{Ob}\mathfrak{A}$. Każdemu obiektowi $\mathrm{A}\;$ odpowiada jednoznaczny morfizm jednostkowy $1_\mathrm{A}\;$, taki że dla każdego morfizmu f o początku $\mathrm{A}\;$

$f \circ 1_\mathrm{A} = f\;$,

a dla każdego morfizmu g o końcu $\mathrm{A}\;$

$1_\mathrm{A} \circ g = g\;$,

przy czym różnym obiektom odpowiadają różne morfizmy jednostkowe.

Podział elementów kategorii na obiekty i morfizmy ma sens jedynie dla danej kategorii, ponieważ obiekty jednej kategorii mogą być morfizmami drugiej i na odwrót.

Istnieją specjalne klasy obiektów: obiekty zerowe, obiekty małe, obiekty rzutowe, obiekty injektywne.

Przykłady

• W kategorii Set wszystkich zbiorów obiektami są zbiory, a morfizmami są funkcje pomiędzy nimi.
• W kategorii Gr wszystkich grup obiektami są grupy, a morfizmami są homomorfizmy między grupami.
• W kategorii Ab obiektami są grupy abelowe, a morfizmami są homomorfizmy.
• W kategorii Vect_K obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K, a morfizmami są odwzorowania K-liniowymi.
• W kategorii Metr obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające.
• W kategorii Top obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe pomiędzy tymi przestrzeniami.

Zobacz też

• Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). [dostęp 2011-08-26].

Bibliografia

1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 16, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. 
2. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.