Obiekty początkowy i końcowy

Obiekt początkowy (końcowy) - dla ustalonej kategorii $\mathfrak{K}$, obiekt $\mathit{E}\;$ o tej własności, że dla każdego obiektu $\mathit{A}\;$ tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm $h: \mathit{E} \rightarrow \mathit{A}$ (odpowiednio $h: \mathit{A} \rightarrow \mathit{E}$). Obiekt początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do (jedynego) izomorfizmu. Obiekt który jest jednocześnie początkowy i końcowy nazywany jest obiektem zerowym kategorii $\mathfrak{K}$.

Przykłady

• Zbiór pusty jest obiektem początkowym w kategorii wszystkich zbiorów. Każdy zbiór jednoelementowy jest obiektem końcowym tej kategorii.
• W kategorii wszystkich grup, obiektem początkowym, a zarazem końcowym (a więc zerowym), jest grupa jednoelementowa.
• W kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych (tj. przestrzeni z wyróżnionym punktem, w której od morfizmów wymagamy by przeprowadzały wyróżnione punkty na wyróżnione punkty), obiektem zerowym jest przestrzeń jednopunktowa.
• W kategorii wszystkich pierścieni z jedynką, obiektem początkowym jest pierścień liczb całkowitych, obiektem końcowym, natomiast, pierścień zerowy.
• Każdy zbiór częściowo uporządkowany $(\mathit{P}, \preceq )$ może być rozpatrywany jako kategoria, której obiektami są elementy zbioru $\mathit{P}\;$. Powiemy, że istnieje morfizm między elementami $x, y \in \mathit{P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x \preceq y$. Kategoria ta ma obiekt początkowy (końcowy) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze $\mathit{P}\;$ istnieje element najmniejszy (odpowiednio największy).

Bibliografia

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987, s. 66.