Obraz i przeciwobraz

Obraz i przeciwobraz – w matematyce odpowiednio zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny oraz zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej $f \colon X \to Y$ oznacza funkcję zbioru $X$ w zbiór $Y.$

Obraz elementu

Jeżeli $x$ jest elementem $X,$ to $f(x) = y,$ czyli wartość funkcji $f$ na elemencie $x,$ nazywa się obrazem $x$ poprzez $f.$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru $A \subseteq X$ w funkcji $f$ nazywa się podzbiór $f[A] \subseteq Y$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

$\left\{y \in Y\colon f(x) = y \mbox{ dla pewnego } x \in A\right\}.$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki $f[A]$ oznacza się zwykle symbolem $f(A).$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez $f$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru $X,$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru $Y.$

Obraz funkcji

Obraz $f[X]$ całej dziedziny $X$ nazywa się zwykle obrazem funkcji $f.$ Do innych oznaczeń należą również $f(X)$ (j.w.), $\operatorname{im}(f)$ (ang. image – obraz).

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem

$f^{-1}[B] = \{x \in X\colon f(x) \in B\}.$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem $f^{-1}[\scriptstyle\{y\}\textstyle]$ lub krótko $f^{-1}[y]$ nazywa się również włóknem nad $y$ bądź poziomicą lub warstwicą $y.$ Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Raz jeszcze, jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to $f^{-1}[B]$ można oznaczać symbolem $f^{-1}(B)$ i myśleć o $f^{-1}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego $Y$ w zbiór potęgowy $X.$ Oznaczenie $f^{-1}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Notacja

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

$f^\rightarrow\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y),$ gdzie $f^\rightarrow(A) = \{f(a)\colon a \in A\},$

$f^\leftarrow\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X),$ gdzie $f^\leftarrow(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\}.$

Notacja gwiazdkowa

$f_\star\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ zamiast $f^\rightarrow,$

$f^\star\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ zamiast $f^\leftarrow.$

Inne

Alternatywną notacją $f[A]$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest $f'' A.$

W niektórych pracach obraz $f$ nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji $f$ postaci $\operatorname{rg}(f)$ bądź $\operatorname{ran}(f)$ (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania $\scriptstyle \Psi_M.$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• $f\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c, d\}$ określona wzorem $f(x) = \begin{cases} a & \mbox{dla } x = 1, 2 \\ c & \mbox{dla } x = 3. \end{cases}$

  Obrazem zbioru $\{2, 3\}$ poprzez $f$ jest $f[\scriptstyle\{2, 3\}\textstyle] = \{a, c\}.$ Obrazem funkcji jest $\{a, c\}.$ Przeciwobrazem $a$ jest $f^{-1}[a] = \{1, 2\}.$ Przeciwobrazem $\{a, b\}$ również jest $\{1, 2\}.$ Przeciwobrazem $\{b, d\}$ jest zbiór pusty $\{\}.$

• $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ dana wzorem $f(x) = x^2.$

  Obrazem $\{-2, 3\}$ w $f$ jest $f[\scriptstyle\{2, 3\}\textstyle] = \{4, 9\},$ a obrazem $f$ jest $\mathbb R^+.$ Przeciwobraz $\{4, 9\}$ w $f$ to $f^{-1}[\scriptstyle\{4, 9\}\textstyle] = \{-3, -2, 2, 3\}.$ Przeciwobrazem zbioru $N = \{n \in \mathbb R\colon n < 0\}$ w $f$ jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

• $f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ dana wzorem $f(x, y) = x^2 + y^2.$

  Włóknami (poziomicami) $f^{-1}[a]$ są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru $a,$ odpowiednio: $a > 0,$ $a = 0$ oraz $a < 0.$

• Jeżeli $M$ jest rozmaitością, a $\pi\colon \operatorname TM \to M$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej $\operatorname TM$ na $M,$ to przestrzenie styczne $\operatorname T_x(M)$ dla $x \in M.$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Niech dana będzie funkcja $f\colon X \to Y.$ Dla wszystkich podzbiorów $A, A_1, A_2 \subseteq X$ oraz $B, B_1, B_2 \subseteq Y$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,

  $f[A] \subseteq Y$ oraz $f^{-1}[B] \subseteq X;$

• działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

  $f[\scriptstyle f^{-1}[B]\textstyle] \subseteq B$ (równość dla funkcji „na”),

  $f^{-1}[\scriptstyle f[A]\textstyle] \supseteq A$ (równość dla funkcji różnowartościowej),

  $f[A] \subseteq B \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}[B];$

• operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.

  $A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow f\left[A_1\right] \subseteq f\left[A_2\right]$ oraz

  $B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}\left[B_1\right] \subseteq f^{-1}\left[B_2\right];$

• prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:

  $f[A \cup B] = f[A] \cup f[B],$

  $f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]$ (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),

  $f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],$

  $f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];$

• zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:

  $f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},$

• z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

  $f\left[A \setminus B\right] \supseteq f[A] \setminus f[B],$

  $f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B]$.

• istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:

  $(f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].$

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole'a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech $(A_i)_{i \in I}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $X,$ a $(B_j)_{j \in J}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $Y.$ Wówczas

• $f\left[\bigcup A_i\right] = \bigcup f\left[A_i\right],$
• $f\left[\bigcap A_i\right] \subseteq \bigcap f\left[A_i\right].$

oraz

• $f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],$
• $f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru $B \subset Y$ względem złożenia $g \circ f \colon X \to Z$ dwóch funkcji $f \colon X \to Y$ oraz $g \colon Y \to Z$ dany jest wzorem:

• $(g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].$

Zobacz też

• jądro funkcji,
• dziedzina, przeciwdziedzina,
• obraz w teorii kategorii.

Bibliografia

• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. ISBN 81-203-0871-9. 
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.