Obszar normalny

Obszar (w ${\mathbb R}^2$) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.

Zbiór $D\subseteq {\mathbb R}^2$ jest obszarem normalnym względem osi OX jeśli

$D=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:\; a\leqslant x\leqslant b;\; f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\},$

gdzie $f,g:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ są funkcjami ciągłymi, $a<b$.

Proste $x=a$ i $x=b$ ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe $y=g(x)$ i $y=f(x)$ odpowiednio od góry i dołu.

Pole obszaru normalnego

Pole $|D|$ obszaru normalnego $D\subseteq {\mathbb R}^2$ dane jest wzorem

$|D|=\int\limits_a^b (g(x) - f(x))\mathrm{d}x$

Dowód:

$f(x)$ jest ciągła w przedziale $[a,b]$, zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstraßa, więc $\forall x \in [a,b]$ zachodzi $f(x)>m$ dla pewnego $m \in \mathbb{R}$.

Jeżeli $m<0$ to przesuwamy obszar $D$ o wektor $[0,-m]$.

Otrzymany obszar $D^\prime = D$ bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izomerią.

Oznaczmy $f_1(x) = f(x) + m$ i $g_1(x) = g(x) + m$.

Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:

$|D| = \int \limits_a^b f_1(x)\mathrm{d}x -\int \limits_a^b g_1(x) \mathrm{d}x = \int \limits_a^b (f_1(x) - g_1(x))\mathrm{d}x = \int \limits_a^b (f(x) - g(x))\mathrm{d}x$

ponieważ $f_1(x)$ i $g_1(x)$ różnią się od $f_1(x)$ i $g_1(x)$ tylko o stałą. QED.

Obszar normalny w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór $V\subseteq {\mathbb R}^3$ jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny $V^\prime\subseteq {\mathbb R}^2$ oraz funkcje ograniczone i ciągłe $f,g:V'\longrightarrow {\mathbb R}, f\leqslant g$, takie, że:

$V=\{(x,y,z)\in {\mathbb R}^3:\; (x,y)\in V^\prime \; z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.$

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.