Obwód RLC

RLC jest skrótowym oznaczeniem dla obwodów elektrycznych (w tym elektronicznych) składających się tylko z trzech podstawowych elementów pasywnych:

• rezystora, oznaczanego przez R (rezystancja)
• cewki, oznaczanej przez L (indukcyjność)
• kondensatorów, oznaczanych przez C (pojemność)

Natężenie prądu w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:

$I=I_0 \sin (\omega t)$

Napięcie na zaciskach źródła:

$U=U_0 \sin (\omega t + \varphi)$

gdzie φ jest różnicą faz między natężeniem prądu i napięciem. Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy reaktancji cewki i kapacytancji kondensatora przez opór omowy:

$\operatorname{tg} \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$

Impedancją (zawadą) szeregowego obwodu RLC nazywamy całkowity opór takiego obwodu:

$Z = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}$

Mogą zajść następujące przypadki:

• $\omega L > \frac{1}{\omega C}$ – obwód ma charakter indukcyjny, kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła
• $\omega L < \frac{1}{\omega C}$ – obwód ma charakter pojemnościowy, kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóźnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu
• $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ – zachodzi rezonans napięć, kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy.

Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:

$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

W klasycznym, szeregowym obwodzie RLC, w dowolnej chwili t suma energii kondensatora, energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu t zamieniona na ciepło w oporze R (tzn. na ciepło Joule'a-Lenza) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.

$\frac{Q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}+\int_0^t I^2R \ dt = \frac{Q_m^2}{2C}=const$

Q_m jest początkowym ładunkiem kondensatora.

Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu t otrzymamy:

$2\dot{Q} \frac{Q}{2C}+2I \frac{L \dot{I}}{2}+I^2 R=0$

Wiedząc, że:

$I=\frac{dQ}{dt}=\dot{Q}$

oraz

$\dot{I}=\frac{dI}{dt}=\frac{d(\dot{Q})}{dt}=\ddot{Q}$

możemy wyciągnąć I przed nawias i otrzymamy:

$I \left( \frac{Q}{C}+L\ddot{Q}+\dot{Q}R \right)=0$

Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili t, wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez L otrzymujemy:

$\ddot{Q}+\frac{R}{L} \dot{Q} +\frac{1}{LC}Q=0$

Współczynnik przy Q jest kwadratem pulsacji drgań własnych swobodnych obwodu LC:

$\frac{1}{LC} = {\omega_0}^2$

Współczynnik przy pierwszej pochodnej $\dot{Q}$ oznaczamy przez 2β:

$\frac{R}{L} = 2 \beta \Rightarrow \frac{R}{2L} = \beta$

Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:

$\ddot{Q} + 2\beta \dot{Q} + {\omega_0}^2 Q = 0$

Rozwiązaniem tego równania jest wzór:

$Q = Q_m \ e^{- \beta t} \cos(\omega t + \varphi)$

Częstość drgań gasnących:

$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}=\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}$

$\beta^2 < \omega_0^2 \Rightarrow \frac{R^2}{4L^2} < \frac{1}{LC}$

co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.

Zmiana napięcia na kondensatorze:

$U = \frac{Q_m}{C}\ e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)=U_m e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)$

Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:

$I = \dot{Q} = Q_m \ \omega_0 \ e^{- \beta t} \left[ - \frac {\beta}{\omega_0} \cos(\omega t + \varphi) - \frac{\omega}{\omega_0} \sin(\omega t + \varphi) \right] = Q_m \ \omega_0 \ e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi + \alpha)$

Dodatkowo:

$\frac{\omega}{\omega_0}=\sin \alpha$ oraz $\frac{\beta}{\omega_0}=-\cos \alpha$

Zatem natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu w stosunku do napięcia wynosi:

$\operatorname{tg} \alpha = -\frac{\omega}{\beta} = -\frac{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}{\beta}=-\frac{\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}}{\frac{R}{2L}}$

Dobroć obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby pełnych drgań N_e wykonywanych przez obwód w czasie, w ciągu którego amplituda maleje e razy.

$D=\frac{\pi}{\delta} = \frac{\pi}{\beta T} = \frac{\omega}{2 \beta}$

Przy małym tłumieniu:

$\omega \approx \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Wobec czego:

$D \approx \frac{\omega_0}{2 \beta}=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$

Linki zewnętrzne

• animacja szeregowego obwodu RLC (w j. angielskim)